人邮高数 第2章 第2-7-12题
📝 题目
12．生产某种商品 $x$ 单位的利润是 $L(x)=5000+x-0.00001 x^{2}$（元），问：生产多少个单位时获利润最大？
💡 答案解析
[AI解答]
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**解**： 利润函数为 $$ L(x)=5000+x-0.00001x^{2} $$ 其中 $x$ 表示生产数量（单位：个），$L(x)$ 表示利润（单位：元）。 这是一个开口向下的二次函数，最大值出现在导数为零的点。
先求导： $$ L'(x)=\displaystyle{}\frac{d}{dx}\left(5000+x-0.00001x^{2}\right)=1-0.00002x $$
令导数为零： $$ 1-0.00002x=0 $$ 解得 $$ x=\frac{1}{0.00002}=50000 $$
由于 $L''(x)=-0.00002<0$，说明该点为极大值点，也是最大值点。
因此，生产 **50000 个单位**时利润最大。
**答**：生产 $50000$ 个单位时获利润最大。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出利润函数
利润函数为 L(x)=5000+x-0.00001x^2，其中 x 表示生产数量（个），L(x) 表示利润（元）。
公式：L(x)=5000+x-0.00001x^2
提示：注意二次项系数为负，函数开口向下，存在最大值。
步骤 2/5
目标：求导数
对利润函数求导：L'(x)=1-0.00002x。
公式：L'(x)=1-0.00002x
提示：常数项导数为0，x的导数为1，-0.00001x^2的导数为-0.00002x。
步骤 3/5
目标：令导数为零，解出驻点
令 L'(x)=0，即 1-0.00002x=0，解得 x=1/0.00002=50000。
公式：1-0.00002x=0 ⇒ x=50000
提示：解方程时注意小数运算。
步骤 4/5
目标：判断极值类型
求二阶导数 L''(x)=-0.00002<0，所以 x=50000 是极大值点，也是最大值点。
公式：L''(x)=-0.00002<0
提示：二阶导数小于0，函数在该点取得极大值。
步骤 5/5
目标：得出结论
生产50000个单位时利润最大。
提示：注意单位：个。
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