人邮高数 第2章 第2-7-13题
📝 题目
13．某厂每批生产 $A$ 商品 $x$ 台的费用为 $C(x)=5 x+200$（万元），得到的收入为 $R(x)= 10 x-0.01 x^{2}$（万元），问：每批生产多少台，才能使利润最大？
💡 答案解析
[AI解答]
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**解**： 利润函数为收入减去费用，即 $$ L(x) = R(x) - C(x) = (10x - 0.01x^2) - (5x + 200) = 5x - 0.01x^2 - 200. $$
为求最大利润，先求导数： $$ L'(x) = \displaystyle\frac{d}{dx}\big(5x - 0.01x^2 - 200\big) = 5 - 0.02x. $$
令导数为零： $$ 5 - 0.02x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{0.02} = 250. $$
再求二阶导数以判断极值类型： $$ L''(x) = -0.02 < 0, $$ 因此 $x=250$ 处取得极大值，也是最大值。
**答**：每批生产 $250$ 台时，利润最大。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立利润函数
利润函数 L(x) = R(x) - C(x)，其中收入 R(x)=10x-0.01x^2，费用 C(x)=5x+200。代入得 L(x)=5x-0.01x^2-200。
公式：L(x)=R(x)-C(x)
提示：注意利润是收入减去费用，不要混淆。
步骤 2/4
目标：求导数
对 L(x) 求导：L'(x)=5-0.02x。
公式：L'(x)=5-0.02x
提示：使用幂函数求导法则：d/dx (x^n)=n x^{n-1}。
步骤 3/4
目标：令导数为零求驻点
解方程 5-0.02x=0，得 x=250。
公式：5-0.02x=0 ⇒ x=250
提示：注意解方程时移项要变号。
步骤 4/4
目标：判断极值类型
求二阶导数 L''(x)=-0.02<0，故 x=250 处取得极大值，也是最大值。
公式：L''(x)=-0.02<0
提示：二阶导数小于0说明函数在该点处是凸的，取得极大值。
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