人邮高数 第2章 第2-7-23题

[AI解答]

[AI解答] 摆线的参数方程为 $$ \begin{cases} x = a(t - \sin t) \$$2pt] y = a(1 - \cos t) \end{cases} \quad a>0,\; t\in(0,2\pi). $$

首先求一阶导数： $$ x'(t) = a(1 - \cos t),\quad y'(t) = a\sin t. $$

二阶导数： $$ x''(t) = a\sin t,\quad y''(t) = a\cos t. $$

曲率公式（参数形式）： $$ K(t) = \frac{|x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)|}{\bigl[(x'(t))^2 + (y'(t))^2\bigr]^{3/2}}. $$

计算分子： $$ x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t) = a(1-\cos t) \cdot a\cos t - a\sin t \cdot a\sin t = a^2\bigl[(1-\cos t)\cos t - \sin^2 t\bigr]. $$

化简： $$ (1-\cos t)\cos t - \sin^2 t = \cos t - \cos^2 t - \sin^2 t = \cos t - 1. $$

所以分子绝对值为： $$ |a^2(\cos t - 1)| = a^2(1 - \cos t),\quad \text{因为 } 1-\cos t \ge 0. $$

计算分母： $$ (x'(t))^2 + (y'(t))^2 = a^2(1-\cos t)^2 + a^2\sin^2 t = a^2\bigl[1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t\bigr] = a^2(2 - 2\cos t) = 2a^2(1-\cos t). $$

因此分母的 $3/2$ 次方为： $$ \bigl[2a^2(1-\cos t)\bigr]^{3/2} = (2a^2)^{3/2} (1-\cos t)^{3/2} = 2\sqrt{2}\,a^3 (1-\cos t)^{3/2}. $$

于是曲率： $$ K(t) = \frac{a^2(1-\cos t)}{2\sqrt{2}\,a^3 (1-\cos t)^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}\,a\,(1-\cos t)^{1/2}}. $$

利用半角公式 $\displaystyle 1-\cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$，得： $$ K(t) = \frac{1}{2\sqrt{2}\,a \cdot \sqrt{2}\,|\sin\frac{t}{2}|} = \frac{1}{4a\,|\sin\frac{t}{2}|}. $$

在 $t\in(0,2\pi)$ 上，$\displaystyle \sin\frac{t}{2}>0$，所以绝对值可去掉： $$ K(t) = \frac{1}{4a\sin\frac{t}{2}}. $$

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**求最小值**： $K(t)$ 的分母 $\displaystyle 4a\sin\frac{t}{2}$ 在 $t\in(0,2\pi)$ 上，当 $\displaystyle \sin\frac{t}{2}$ 最大时曲率最小。 $\displaystyle \sin\frac{t}{2}$ 在 $\displaystyle \frac{t}{2}=\frac{\pi}{2}$ 即 $t=\pi$ 时取最大值 $1$。

因此最小曲率为： $$ K_{\min} = \frac{1}{4a}. $$

对应曲率半径： $$ \rho = \frac{1}{K_{\min}} = 4a. $$

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**结论**： - 当 $t = \pi$ 时，曲率最小。 - 最小曲率：$\displaystyle K_{\min} = \frac{1}{4a}$。 - 该点曲率半径：$\rho = 4a$。

难度：★★☆☆☆