人邮高数 第3章 第3-4-7题
📝 题目
7．证明不等式 $\displaystyle{\int}_{2}^{3} \sqrt{x^{2}-x} \mathrm{~d} x \geqslant \sqrt{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们证明不等式 $$ \int_{2}^{3} \sqrt{x^{2} - x} \, dx \geq \sqrt{2}. $$
**第一步：化简被积函数** 对于 $x \in [2, 3]$，有 $$ x^{2} - x = x(x-1) \geq 2 \cdot 1 = 2, $$ 因此 $$ \sqrt{x^{2} - x} \geq \sqrt{2}. $$
**第二步：利用定积分的保序性** 由于在区间 $[2, 3]$ 上被积函数不小于常数 $\sqrt{2}$，故 $$ \int_{2}^{3} \sqrt{x^{2} - x} \, dx \geq \int_{2}^{3} \sqrt{2} \, dx = \sqrt{2} \cdot (3 - 2) = \sqrt{2}. $$
**第三步：结论** 不等式得证。
难度评级：★☆☆☆☆ （仅需利用函数单调性和积分保序性，计算简单。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简被积函数的下界
对于 x ∈ [2,3]，有 x² - x = x(x-1) ≥ 2·1 = 2，因此 √(x² - x) ≥ √2。
公式：x² - x = x(x-1) ≥ 2
提示：利用区间端点最小值估计
步骤 2/2
目标：应用定积分的保序性
由于在 [2,3] 上被积函数不小于常数 √2，故 ∫₂³ √(x² - x) dx ≥ ∫₂³ √2 dx = √2 · (3-2) = √2。
公式：∫₂³ √2 dx = √2
提示：保序性：若 f(x) ≥ g(x)，则 ∫ f ≥ ∫ g
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