人邮高数 第3章 第3-5-11题
📝 题目
11．设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x\lt 0, \\ 2, & x=0, \\ \frac{x_{0}^{x^{2}} \cos x^{2} \mathrm{~d} x}{2 x^{2}}, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 求（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x) ;(2) f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？为什么？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们首先仔细分析题目给出的分段函数：
$$ f(x)= \begin{cases} \displaystyle{\frac{1-\cos x}{x^{2}}}, & x<0,\$$6pt] 2, & x=0,\$$6pt] \displaystyle{\frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} \, \mathrm{d}t}{2x^{2}}}, & x>0. \end{cases} $$
注意：原题第三行写法可能有笔误，应为积分上限是 $x^2$，被积函数是 $\cos t^2$，分母是 $2x^2$，这样才合理。
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### （1）求 $\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(x)}$
由于是分段函数，需要分别求左极限和右极限。
#### 左极限 $x\to 0^{-}$： 当 $x<0$ 时， $$ f(x)=\frac{1-\cos x}{x^{2}}. $$ 利用等价无穷小：当 $x\to 0$ 时，$1-\cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$，所以 $$ \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac12. $$
#### 右极限 $x\to 0^{+}$： 当 $x>0$ 时， $$ f(x)=\frac{\displaystyle{\int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} \, \mathrm{d}t}}{2x^{2}}. $$ 令 $u=x^{2}$，则当 $x\to 0^{+}$ 时 $u\to 0^{+}$，于是 $$ \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{u\to 0^{+}} \frac{\displaystyle{\int_{0}^{u} \cos t^{2} \, \mathrm{d}t}}{2u}. $$ 这是 $\frac{0}{0}$ 型，用洛必达法则（对 $u$ 求导）： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\int_{0}^{u} \cos t^{2} \, \mathrm{d}t = \cos u^{2}. $$ 所以 $$ \lim_{u\to 0^{+}} \frac{\cos u^{2}}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac12. $$
因此左右极限相等： $$ \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\frac12. $$ 故 $$ \boxed{\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)=\frac12}}. $$
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### （2）判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续
函数在 $x=0$ 处连续的条件是： $$ \lim_{x\to 0} f(x) = f(0). $$ 由（1）得 $\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)=\frac12}$，而题中给出 $f(0)=2$，显然 $$ \frac12 \neq 2, $$ 所以函数在 $x=0$ 处不连续，属于可去间断点（第一类）。
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**难度评级**：★★☆☆☆ 原因：涉及分段函数极限、等价无穷小、变上限积分求导及洛必达法则，计算量不大，但需注意分段处理。