人邮高数 第3章 第3-5-5题
📝 题目
5．求由参数表达式 $x=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \sin u^{2} \mathrm{~d} u, y=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \cos u^{2} \mathrm{~d} u$ 所确定的函数对 $x$ 的导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知参数方程： $$ x = \int_{0}^{t} \sin u^{2} \, du, \quad y = \int_{0}^{t} \cos u^{2} \, du. $$
要求函数对 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$，由参数方程求导公式： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}. $$
先分别对 $t$ 求导：
由微积分基本定理， $$ \frac{dx}{dt} = \sin t^{2}, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t^{2}. $$
因此： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos t^{2}}{\sin t^{2}} = \cot(t^{2}). $$
所以所求导数为： $$ \boxed{\cot(t^{2})}. $$
注意：结果用参数 $t$ 表示，因为 $x$ 与 $t$ 的关系由积分给出，不易反解为显式。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别参数方程形式
题目给出参数方程 x = ∫₀ᵗ sin(u²) du, y = ∫₀ᵗ cos(u²) du，要求 dy/dx。
提示：参数方程求导公式：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)。
步骤 2/3
目标：对参数 t 求导
由微积分基本定理，dx/dt = sin(t²)，dy/dt = cos(t²)。
公式：d/dt ∫₀ᵗ f(u) du = f(t)
提示：注意积分上限是 t，下限是常数。
步骤 3/3
目标：计算导数比值
代入公式：dy/dx = (cos(t²))/(sin(t²)) = cot(t²)。
公式：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
提示：结果用参数 t 表示，因为 x 与 t 的关系复杂。
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