人邮高数 第3章 第3-7-*13题
📝 题目
＊13．一块底为 4 m 、高为 3 m 的等腰三角形平板铅直地置于水中，底边在上，平行于水面，位于水面下 1 m ，求该平板的一侧受到的水压力。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们先将问题转化为数学模型。等腰三角形平板底边在上，底边长4 m，高3 m，铅直放置，底边平行于水面且位于水面下1 m。 取坐标系：以水面为x轴，竖直向下为y轴正方向。则三角形的底边在y=1 m处，顶点在y=1+3=4 m处。 由于等腰三角形对称，取宽度随深度变化的关系：在深度y处（1 ≤ y ≤ 4），三角形截取的水平宽度为线性变化。 底边处（y=1）宽度为4 m，顶点处（y=4）宽度为0 m，因此宽度函数为
$$ w(y) = 4 \cdot \frac{4-y}{3} = \frac{4}{3}(4-y) $$
深度为y处水的压强为 $ p(y) = \rho g (y) $，通常取水的密度 $\rho = 1000\,\mathrm{kg/m^3}$，重力加速度 $g=9.8\,\mathrm{N/kg}$，但工程上常用 $\rho g = 9800\,\mathrm{N/m^3}$，或直接用比重 $\gamma = 9800$。此处我们保留符号以便得到表达式。 平板一侧所受总压力为
$$ F = \int_{y=1}^{4} p(y) \cdot w(y) \, dy = \int_{1}^{4} \rho g y \cdot \frac{4}{3}(4-y) \, dy $$
将常数提出：
$$ F = \frac{4}{3} \rho g \int_{1}^{4} y(4-y) \, dy = \frac{4}{3} \rho g \int_{1}^{4} (4y - y^2) \, dy $$
计算定积分：
$$ \int_{1}^{4} (4y - y^2) \, dy = \left[ 2y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_{1}^{4} $$
先代入上限y=4：
$$ 2(16) - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3} $$
代入下限y=1：
$$ 2(1) - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} $$
相减得：
$$ \frac{32}{3} - \frac{5}{3} = \frac{27}{3} = 9 $$
因此：
$$ F = \frac{4}{3} \rho g \cdot 9 = 12 \rho g $$
若取 $\rho g = 9800\,\mathrm{N/m^3}$，则
$$ F = 12 \times 9800 = 117600\,\mathrm{N} $$
即约为 $1.176 \times 10^5\,\mathrm{N}$。
**难度评级**：★★☆☆☆ （属于常规的液体静压力积分计算，只需建立坐标系并正确写出宽度函数，积分过程简单。）