人邮高数 第3章 第3-7-*9题

[AI解答]

[AI解答] 我们需要计算将圆锥形容器中的水全部抽出到容器顶部（即高度为3m处）所做的功。已知容器上底半径 $R = 1\,\mathrm{m}$，高 $H = 3\,\mathrm{m}$，水深 $h = 2\,\mathrm{m}$。水的密度 $\rho = 1000\,\mathrm{kg/m^3}$，重力加速度 $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$。

首先建立坐标系：取圆锥顶点为坐标原点，竖直向下为 $y$ 轴正方向，则容器高度方向从 $y=0$（顶点）到 $y=3$（上底面）。但题目中水是从顶部抽出，更方便将坐标原点设在水面或顶部。我们设 $x$ 轴竖直向上，原点在锥顶，则锥顶在 $x=0$，上底面在 $x=3$，水面在 $x=1$（因为水深2m，从顶点到水面距离为1m？注意：若顶点在下，则水深2m是从底面算起？这里需要明确容器放置方向。

通常圆锥形容器顶点朝下，上底朝上。那么顶点在下方，上底在上方。高3m，上底半径1m。水深2m，即从顶点向上2m处是水面。所以水面距离顶点2m，距离顶部1m。我们要将水全部抽出到顶部（高度3m处）。

设竖直向上为 $x$ 轴，原点在顶点，则顶部在 $x=3$，水面在 $x=2$。水的深度区间为 $x \in [0,2]$。

在高度 $x$ 处取一薄层水，厚度为 $dx$，该处圆锥截面半径为 $r$。由相似三角形： $$ \frac{r}{x} = \frac{1}{3} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{x}{3}. $$ 该薄层水的体积微元为 $$ dV = \pi r^2 dx = \pi \left(\frac{x}{3}\right)^2 dx = \frac{\pi x^2}{9} dx. $$ 质量微元 $$ dm = \rho dV = 1000 \cdot \frac{\pi x^2}{9} dx. $$ 将这一薄层水提升到顶部（高度 $x=3$）需克服重力做功，提升距离为 $ (3 - x) $，因此微元功 $$ dW = dm \cdot g \cdot (3 - x) = 1000 g \frac{\pi x^2}{9} (3 - x) dx. $$ 总功为从 $x=0$ 到 $x=2$ 积分： $$ W = \int_{0}^{2} 1000 g \frac{\pi}{9} x^2 (3 - x) \, dx. $$ 将常数提出： $$ W = \frac{1000 \pi g}{9} \int_{0}^{2} (3x^2 - x^3) \, dx. $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{2} 3x^2 dx = \left[ x^3 \right]_{0}^{2} = 8, $$ $$ \int_{0}^{2} x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{16}{4} = 4, $$ 所以 $$ \int_{0}^{2} (3x^2 - x^3) dx = 8 - 4 = 4. $$ 因此 $$ W = \frac{1000 \pi g}{9} \cdot 4 = \frac{4000 \pi g}{9}. $$ 代入 $g = 9.8$： $$ W = \frac{4000 \pi \times 9.8}{9} = \frac{39200\pi}{9} \approx \frac{39200 \times 3.1416}{9} \approx \frac{123150}{9} \approx 13683.3\,\mathrm{J}. $$ 所以做功约为 $1.37 \times 10^4$ 焦耳。

难度评级：★★☆☆☆ （涉及定积分应用，但几何关系简单，计算不复杂）