人邮高数 第4章 第4-2-6题
📝 题目
6．求一曲线方程，该曲线过原点，并且它在点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于 $2 x+y$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知曲线在点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $$ \frac{dy}{dx} = 2x + y $$ 并且曲线经过原点 $(0, 0)$。
这是一个一阶线性微分方程，写成标准形式： $$ \frac{dy}{dx} - y = 2x $$ 其通解公式为 $$ y = e^{\int P(x)\,dx} \left( \int Q(x) e^{-\int P(x)\,dx} dx + C \right) $$ 这里 $P(x) = -1$，$Q(x) = 2x$。
先计算积分因子： $$ \mu(x) = e^{\int (-1)\,dx} = e^{-x} $$ 于是通解为： $$ y = e^{x} \left( \int 2x \cdot e^{-x} \, dx + C \right) $$
计算积分 $\displaystyle{\int 2x e^{-x} dx}$，使用分部积分法： 令 $u = 2x$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du = 2 dx$，$v = -e^{-x}$， $$ \int 2x e^{-x} dx = -2x e^{-x} + \int 2 e^{-x} dx = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C_1 $$ 因此 $$ y = e^{x} \left( -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C \right) = -2x - 2 + C e^{x} $$
利用初始条件 $x=0, y=0$： $$ 0 = -0 - 2 + C \cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C = 2 $$
所以曲线方程为： $$ \boxed{y = 2e^{x} - 2x - 2} $$
难度：★★☆☆☆