人邮高数 第4章 第4-4-1题
📝 题目
1．质量为 1 g 的质点受外力作用做直线运动，外力与时间成正比．在 $t=10 \mathrm{~s}$ 时，速率为 $50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，外力为 $4 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}$ 。从运动开始经过 1 min 后的速率是多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目分析** 已知质点质量 $ m = 1 \, \text{g} $，外力 $ F $ 与时间 $ t $ 成正比，即 $$ F(t) = k t $$ 其中 $ k $ 为比例常数。由牛顿第二定律 $$ F = m a = m \frac{dv}{dt} $$ 代入 $ m=1 $ 得 $$ \frac{dv}{dt} = k t $$ 积分可求出速度随时间的变化关系。
**步骤1：确定比例常数 $ k $** 已知在 $ t = 10 \, \text{s} $ 时，外力 $ F = 4 \, \text{g} \cdot \text{cm}/\text{s}^2 $，由 $$ F(t) = k t $$ 得 $$ 4 = k \cdot 10 \quad \Rightarrow \quad k = 0.4 $$ 单位是 $ \text{g} \cdot \text{cm}/\text{s}^3 $。
**步骤2：建立速度微分方程并积分** 由 $$ \frac{dv}{dt} = k t = 0.4 t $$ 两边积分： $$ v(t) = \int 0.4 t \, dt = 0.2 t^2 + C $$ 其中 $ C $ 为积分常数。
**步骤3：利用初始条件确定常数 $ C $** 已知 $ t = 10 \, \text{s} $ 时，$ v = 50 \, \text{cm/s} $，代入： $$ 50 = 0.2 \times (10)^2 + C = 0.2 \times 100 + C = 20 + C $$ 解得 $$ C = 30 $$ 因此速度函数为 $$ v(t) = 0.2 t^2 + 30 $$
**步骤4：求 $ t = 1 \, \text{min} = 60 \, \text{s} $ 时的速率** $$ v(60) = 0.2 \times (60)^2 + 30 = 0.2 \times 3600 + 30 = 720 + 30 = 750 \, \text{cm/s} $$
**最终答案** $$ \boxed{750\ \mathrm{cm/s}} $$
难度：★☆☆☆☆ （直接应用牛顿第二定律与简单积分，步骤清晰，计算量小）