人邮高数 第4章 第4-4-2题
📝 题目
2．镭的衰变与它的现存量 $R$ 成正比，经过 1600 年以后，只余下原始量 $R_{0}$ 的一半。试求镭的现存量 $R$ 与时间 $t$ 的函数关系．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设镭的现存量为 $R(t)$，根据题意，其衰变速率与现存量成正比，即 $$ \frac{dR}{dt} = -kR $$ 其中 $k>0$ 为比例常数（负号表示减少）。 这是一个一阶可分离变量微分方程，分离变量得 $$ \frac{dR}{R} = -k\,dt $$ 两边积分： $$ \int \frac{1}{R}\,dR = -k\int dt $$ 得到 $$ \ln R = -kt + C $$ 其中 $C$ 为积分常数。两边取指数得 $$ R(t) = e^{-kt + C} = e^{C} e^{-kt} $$ 令 $R_0 = e^{C}$，即初始时刻 $t=0$ 时的存量，则 $$ R(t) = R_0 e^{-kt} $$
已知经过 1600 年后，剩余量为原始量的一半，即 $$ R(1600) = \frac{R_0}{2} $$ 代入得 $$ R_0 e^{-1600k} = \frac{R_0}{2} $$ 两边约去 $R_0$（$R_0>0$），得 $$ e^{-1600k} = \frac{1}{2} $$ 取自然对数： $$ -1600k = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2 $$ 所以 $$ k = \frac{\ln 2}{1600} $$
因此，镭的现存量与时间的函数关系为 $$ \boxed{R(t) = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{1600}\,t}} $$ 也可写作 $$ R(t) = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1600}} $$
难度：★☆☆☆☆