人邮高数 第4章 第4-4-3题
📝 题目
3．将质量为 $m$ 的物体垂直上抛，假设初始速度为 $v_{0}$ ，空气阻力与速度成正比（比例系数为 $k)$ ，试求在物体上升过程中速度 $v$ 与时间 $t$ 的函数关系．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑质量为 $ m $ 的物体垂直上抛，取竖直向上为正方向。物体在上升过程中受到两个力： - 重力 $ mg $，方向向下，因此为负； - 空气阻力与速度成正比，方向与运动方向相反，即向下，故阻力为 $ -k v $，其中 $ k>0 $ 为比例系数。
由牛顿第二定律： $$ m \frac{dv}{dt} = -mg - k v $$ 整理为： $$ \frac{dv}{dt} = -g - \frac{k}{m} v $$ 这是一个一阶线性微分方程，用分离变量法求解。 将方程改写为： $$ \frac{dv}{g + \frac{k}{m} v} = - dt $$ 两边积分： $$ \int \frac{dv}{g + \frac{k}{m} v} = -\int dt $$ 计算左边积分，令 $ u = g + \frac{k}{m} v $，则 $ du = \frac{k}{m} dv $，即 $ dv = \frac{m}{k} du $，于是： $$ \int \frac{1}{u} \cdot \frac{m}{k} du = \frac{m}{k} \ln |u| + C_1 $$ 因此： $$ \frac{m}{k} \ln\left(g + \frac{k}{m} v\right) = -t + C $$ 其中 $ C $ 为积分常数。两边乘以 $ \frac{k}{m} $： $$ \ln\left(g + \frac{k}{m} v\right) = -\frac{k}{m} t + C' $$ 取指数： $$ g + \frac{k}{m} v = e^{-\frac{k}{m} t + C'} = C_2 e^{-\frac{k}{m} t} $$ 即： $$ \frac{k}{m} v = C_2 e^{-\frac{k}{m} t} - g $$ 所以： $$ v(t) = \frac{m}{k} \left( C_2 e^{-\frac{k}{m} t} - g \right) $$ 利用初始条件 $ t=0 $ 时，$ v(0)=v_0 $，代入得： $$ v_0 = \frac{m}{k} (C_2 - g) \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{k}{m} v_0 + g $$ 因此速度与时间的函数关系为： $$ v(t) = \frac{m}{k} \left[ \left( \frac{k}{m} v_0 + g \right) e^{-\frac{k}{m} t} - g \right] $$ 也可整理为： $$ v(t) = v_0 e^{-\frac{k}{m} t} - \frac{mg}{k} \left(1 - e^{-\frac{k}{m} t}\right) $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及牛顿第二定律与一阶线性微分方程分离变量法，计算稍需细心，但思路直接）