人邮高数 第5章 第5-1-2题
📝 题目
2．一向量与 $x$ 轴和 $y$ 轴的夹角相等，而与 $z$ 轴的夹角是与 $x$ 轴的夹角的两倍，求向量的方向角。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设该向量与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的夹角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$。 由题意有：
$$ \alpha = \beta, \quad \gamma = 2\alpha $$
方向余弦满足基本关系：
$$ \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 $$
代入 $\beta = \alpha$，$\gamma = 2\alpha$，得：
$$ \cos^2\alpha + \cos^2\alpha + \cos^2(2\alpha) = 1 $$
即：
$$ 2\cos^2\alpha + \cos^2(2\alpha) = 1 $$
利用倍角公式 $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$，则：
$$ \cos^2(2\alpha) = (2\cos^2\alpha - 1)^2 $$
代入方程：
$$ 2\cos^2\alpha + (2\cos^2\alpha - 1)^2 = 1 $$
展开：
$$ 2\cos^2\alpha + 4\cos^4\alpha - 4\cos^2\alpha + 1 = 1 $$
化简：
$$ 4\cos^4\alpha - 2\cos^2\alpha = 0 $$
即：
$$ 2\cos^2\alpha (2\cos^2\alpha - 1) = 0 $$
因此：
$$ \cos^2\alpha = 0 \quad \text{或} \quad \cos^2\alpha = \frac{1}{2} $$
若 $\cos^2\alpha = 0$，则 $\alpha = \frac{\pi}{2}$，此时 $\gamma = \pi$，但方向角范围通常为 $[0, \pi]$，$\gamma = \pi$ 是允许的，但此时方向余弦为 $(0,0,-1)$，可作为一个解。 若 $\cos^2\alpha = \frac{1}{2}$，则 $\cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $\alpha = \frac{\pi}{4}$ 或 $\frac{3\pi}{4}$，对应 $\gamma = \frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$（超出范围，取 $\gamma = \frac{\pi}{2}$ 为合理值）。
因此可能的方向角为：
1. $\alpha = \beta = \frac{\pi}{2},\ \gamma = \pi$ 2. $\alpha = \beta = \frac{\pi}{4},\ \gamma = \frac{\pi}{2}$ 3. $\alpha = \beta = \frac{3\pi}{4},\ \gamma = \frac{\pi}{2}$
所有角度均在 $[0,\pi]$ 内。
难度：★★☆☆☆