人邮高数 第5章 第5-1-19题
📝 题目
19．设向量 $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}, \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{i}+2 \boldsymbol{k}$ ，求以 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知向量 $$ \boldsymbol{a}=2\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j},\quad \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{k}. $$ 以 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形面积等于它们叉积的模长，即 $$ S = |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|. $$
首先计算叉积： $$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}. $$
按第一行展开： $$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - \boldsymbol{j} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + \boldsymbol{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}. $$
计算各二阶行列式： $$ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot 2 - 0\cdot 0 = 2, $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot 2 - 0\cdot(-1) = 4, $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2\cdot 0 - 1\cdot(-1) = 1. $$
因此 $$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = 2\boldsymbol{i} - 4\boldsymbol{j} + 1\boldsymbol{k}. $$
模长为 $$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}. $$
所以平行四边形面积为 $$ \boxed{\sqrt{21}}. $$
难度：★☆☆☆☆