人邮高数 第5章 第5-1-18题
📝 题目
18．已知空间四点 $A(-1,0,3), B(0,2,2), C(2,-2,-1), D(1,-1,1)$ ，求与 $\overrightarrow{A B} 、 \overrightarrow{C D}$ 都垂直的单位向量．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**步骤1：计算向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$**
由坐标： $$ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - (-1),\; 2 - 0,\; 2 - 3) = (1,\; 2,\; -1) $$ $$ \overrightarrow{CD} = D - C = (1 - 2,\; -1 - (-2),\; 1 - (-1)) = (-1,\; 1,\; 2) $$
**步骤2：求与两者都垂直的向量（即叉积）**
设 $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}$，计算： $$ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} $$
分别计算： $$ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (-1)(1) = 4 + 1 = 5 $$ $$ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1 $$ $$ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (2)(-1) = 1 + 2 = 3 $$
所以： $$ \vec{n} = 5\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (5,\; -1,\; 3) $$
**步骤3：单位化**
先求模长： $$ |\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35} $$
单位向量为： $$ \pm \frac{1}{\sqrt{35}} (5,\; -1,\; 3) $$
即： $$ \left( \frac{5}{\sqrt{35}},\; -\frac{1}{\sqrt{35}},\; \frac{3}{\sqrt{35}} \right) \quad\text{或}\quad \left( -\frac{5}{\sqrt{35}},\; \frac{1}{\sqrt{35}},\; -\frac{3}{\sqrt{35}} \right) $$
**最终答案：** $$ \boxed{\pm \frac{1}{\sqrt{35}}(5,\ -1,\ 3)} $$
难度：★☆☆☆☆