人邮高数 第5章 第5-1-3题
📝 题目
3．给定 $M(-2,0,1), N(2,3,0)$ 两点，在 $O x$ 轴上有一点 $A$ ，满足 $|A M|=|A N|$ ，求点 $A$ 的坐标．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设点 $A$ 在 $Ox$ 轴上，因此其坐标为 $A(x,0,0)$。 已知 $M(-2,0,1)$，$N(2,3,0)$，且满足条件 $|AM| = |AN|$。
首先计算 $|AM|$ 与 $|AN|$ 的平方（为方便去掉根号）：
$$ |AM|^2 = (x + 2)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 1)^2 = (x+2)^2 + 1 $$
$$ |AN|^2 = (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 0)^2 = (x-2)^2 + 9 $$
由 $|AM| = |AN|$ 得 $|AM|^2 = |AN|^2$，即：
$$ (x+2)^2 + 1 = (x-2)^2 + 9 $$
展开两边：
$$ x^2 + 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 4 + 9 $$
化简：
$$ x^2 + 4x + 5 = x^2 - 4x + 13 $$
两边消去 $x^2$：
$$ 4x + 5 = -4x + 13 $$
移项：
$$ 4x + 4x = 13 - 5 $$
$$ 8x = 8 $$
解得：
$$ x = 1 $$
因此点 $A$ 的坐标为 $(1,0,0)$。
$$ \boxed{(1,0,0)} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设点A坐标
由于点A在Ox轴上，设其坐标为A(x,0,0)。
提示：Ox轴上的点y和z坐标均为0。
步骤 2/6
目标：计算|AM|^2和|AN|^2
利用两点间距离公式：|AM|^2 = (x+2)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2 = (x+2)^2 + 1；|AN|^2 = (x-2)^2 + (0-3)^2 + (0-0)^2 = (x-2)^2 + 9。
公式：|AB|^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2
提示：平方后比较更方便。
步骤 3/6
目标：建立方程
由|AM|=|AN|得|AM|^2=|AN|^2，即(x+2)^2+1 = (x-2)^2+9。
提示：等式两边平方相等。
步骤 4/6
目标：化简方程
展开：x^2+4x+4+1 = x^2-4x+4+9，即x^2+4x+5 = x^2-4x+13。
提示：注意符号。
步骤 5/6
目标：求解x
消去x^2得4x+5 = -4x+13，移项得8x=8，解得x=1。
提示：移项要变号。
步骤 6/6
目标：得出点A坐标
所以点A的坐标为(1,0,0)。
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