人邮高数 第5章 第5-1-29题

[AI解答]

[AI解答] 已知向量 $$ \boldsymbol{a}=(7,-4,-4),\quad \boldsymbol{b}=(-2,-1,2) $$ 要求向量 $\boldsymbol{c}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的角平分线上，且模长 $|\boldsymbol{c}|=3\sqrt{42}$。

**第一步：求两向量的单位向量**

先计算模长： $$ |\boldsymbol{a}|=\sqrt{7^2+(-4)^2+(-4)^2}=\sqrt{49+16+16}=\sqrt{81}=9 $$ $$ |\boldsymbol{b}|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3 $$

单位向量： $$ \boldsymbol{a}^0=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\left(\frac{7}{9},-\frac{4}{9},-\frac{4}{9}\right) $$ $$ \boldsymbol{b}^0=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) $$

**第二步：角平分线方向向量** 两向量夹角平分线的方向向量为两单位向量之和： $$ \boldsymbol{d}=\boldsymbol{a}^0+\boldsymbol{b}^0 = \left(\frac{7}{9}-\frac{2}{3},\; -\frac{4}{9}-\frac{1}{3},\; -\frac{4}{9}+\frac{2}{3}\right) $$ 通分（分母9）： $$ \frac{7}{9}-\frac{6}{9}=\frac{1}{9},\quad -\frac{4}{9}-\frac{3}{9}=-\frac{7}{9},\quad -\frac{4}{9}+\frac{6}{9}=\frac{2}{9} $$ 所以 $$ \boldsymbol{d}=\left(\frac{1}{9},-\frac{7}{9},\frac{2}{9}\right)=\frac{1}{9}(1,-7,2) $$

**第三步：求模长并确定 $\boldsymbol{c}$** $$ |\boldsymbol{d}|=\frac{1}{9}\sqrt{1^2+(-7)^2+2^2}=\frac{1}{9}\sqrt{1+49+4}=\frac{\sqrt{54}}{9}=\frac{3\sqrt{6}}{9}=\frac{\sqrt{6}}{3} $$

设 $\boldsymbol{c}=k\boldsymbol{d}$，则 $$ |\boldsymbol{c}|=|k|\cdot|\boldsymbol{d}|=|k|\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{42} $$ 解得 $$ |k|=3\sqrt{42}\cdot\frac{3}{\sqrt{6}}=9\sqrt{\frac{42}{6}}=9\sqrt{7} $$ 因此 $k=\pm 9\sqrt{7}$。

于是 $$ \boldsymbol{c}= \pm 9\sqrt{7}\cdot\frac{1}{9}(1,-7,2)=\pm\sqrt{7}(1,-7,2) $$ 即 $$ \boldsymbol{c}=(\sqrt{7},-7\sqrt{7},2\sqrt{7})\quad\text{或}\quad (-\sqrt{7},7\sqrt{7},-2\sqrt{7}) $$

**最终答案：** $$ \boxed{(\sqrt{7},-7\sqrt{7},2\sqrt{7})}\quad\text{或}\quad\boxed{(-\sqrt{7},7\sqrt{7},-2\sqrt{7})} $$

难度：★★☆☆☆