人邮高数 第5章 第5-1-28题

教材习题

📝 题目

28．已知 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 两两垂直，且 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2,|\boldsymbol{c}|=3$ ，求 $\boldsymbol{s}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$ 的长度及它和 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 的夹角．

💡 答案解析

[AI解答]

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已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 两两垂直，即满足： $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0,\quad \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = 0,\quad \boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a} = 0. $$ 且长度分别为 $|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| = 2$，$|\boldsymbol{c}| = 3$。

**第一步：求 $\boldsymbol{s} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$ 的长度**

由向量模的平方公式： $$ |\boldsymbol{s}|^2 = \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s} = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) \cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) $$ 展开得： $$ = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}) $$ 由于两两垂直，所有混合点积为零，因此： $$ |\boldsymbol{s}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14. $$ 所以： $$ |\boldsymbol{s}| = \sqrt{14}. $$

**第二步：求 $\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的夹角 $\theta_a$**

由点积公式： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2 + 0 + 0 = 1. $$ 又： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{s}|\,|\boldsymbol{a}|\cos\theta_a = \sqrt{14} \cdot 1 \cdot \cos\theta_a. $$ 因此： $$ \cos\theta_a = \frac{1}{\sqrt{14}},\quad \theta_a = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right). $$

**第三步：求 $\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta_b$**

类似地： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{b} = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{b} = 0 + |\boldsymbol{b}|^2 + 0 = 4. $$ 又有： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{b} = \sqrt{14} \cdot 2 \cdot \cos\theta_b. $$ 所以： $$ \cos\theta_b = \frac{4}{2\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}},\quad \theta_b = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right). $$

**第四步：求 $\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角 $\theta_c$**

同理： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{c} = 0 + 0 + |\boldsymbol{c}|^2 = 9. $$ 又有： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{c} = \sqrt{14} \cdot 3 \cdot \cos\theta_c. $$ 所以： $$ \cos\theta_c = \frac{9}{3\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}},\quad \theta_c = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right). $$

**最终答案：** $$ |\boldsymbol{s}| = \sqrt{14},\quad \theta_a = \arccos\frac{1}{\sqrt{14}},\quad \theta_b = \arccos\frac{2}{\sqrt{14}},\quad \theta_c = \arccos\frac{3}{\sqrt{14}}. $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求向量 s 的长度
由向量模的平方公式，|s|^2 = (a+b+c)·(a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a·b + a·c + b·c)。由于 a,b,c 两两垂直，所有混合点积为0，故 |s|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14，所以 |s| = √14。
公式：|s|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2
提示：利用垂直条件简化点积计算。
步骤 2/4
目标：求 s 与 a 的夹角
计算 s·a = (a+b+c)·a = |a|^2 + 0 + 0 = 1。又 s·a = |s||a|cosθ_a = √14·1·cosθ_a，所以 cosθ_a = 1/√14，θ_a = arccos(1/√14)。
公式：cosθ = (s·a)/(|s||a|)
提示：注意垂直向量点积为0。
步骤 3/4
目标：求 s 与 b 的夹角
计算 s·b = (a+b+c)·b = 0 + |b|^2 + 0 = 4。又 s·b = √14·2·cosθ_b，所以 cosθ_b = 4/(2√14) = 2/√14，θ_b = arccos(2/√14)。
公式：cosθ = (s·b)/(|s||b|)
提示：注意向量 b 的模为2。
步骤 4/4
目标：求 s 与 c 的夹角
计算 s·c = (a+b+c)·c = 0 + 0 + |c|^2 = 9。又 s·c = √14·3·cosθ_c，所以 cosθ_c = 9/(3√14) = 3/√14，θ_c = arccos(3/√14)。
公式：cosθ = (s·c)/(|s||c|)
提示：注意向量 c 的模为3。

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