人邮高数 第5章 第5-2-1题

教材习题

📝 题目

1．填空题。 （1）过原点且与向量 $\boldsymbol{a}=(3,1,-1)$ 垂直的平面方程为 $\_\_\_\_$ ． （2）平面 $x+2 y+k z+1=0$ 与向量 $\boldsymbol{a}=(1,2,1)$ 垂直，则 $k=$ $\_\_\_\_$。 （3）过点 $M(2,0,-1)$ ，且与向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1) 、 \boldsymbol{b}=(3,0,4)$ 平行的平面方程

为 $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

（1）过原点且与向量 $\boldsymbol{a}=(3,1,-1)$ 垂直的平面方程为 平面过原点，法向量为 $\boldsymbol{a}$，故方程为 $$ 3x + 1\cdot y + (-1)\cdot z = 0 $$ 即 $$ 3x + y - z = 0 $$ 答案为 $3x + y - z = 0$。

（2）平面 $x+2y+kz+1=0$ 与向量 $\boldsymbol{a}=(1,2,1)$ 垂直，则 $k=$ 平面的法向量为 $(1,2,k)$，与 $\boldsymbol{a}$ 平行时垂直条件成立，即对应分量成比例： $$ \frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{k}{1} $$ 解得 $k=1$。 答案为 $k=1$。

（3）过点 $M(2,0,-1)$，且与向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1)$、$\boldsymbol{b}=(3,0,4)$ 平行的平面方程为 平面的法向量为 $$ \boldsymbol{n} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot4 - (-1)\cdot0) - \mathbf{j}(2\cdot4 - (-1)\cdot3) + \mathbf{k}(2\cdot0 - 1\cdot3) $$ 计算得： $$ \boldsymbol{n} = (4,\; - (8+3),\; -3) = (4,\; -11,\; -3) $$ 平面过点 $M(2,0,-1)$，方程为 $$ 4(x-2) -11(y-0) -3(z+1)=0 $$ 化简： $$ 4x - 8 - 11y - 3z - 3 = 0 $$ $$ 4x - 11y - 3z - 11 = 0 $$ 答案为 $4x - 11y - 3z - 11 = 0$。

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：求过原点且与向量a垂直的平面方程
平面过原点，法向量为a=(3,1,-1)，故方程为3x + y - z = 0。
公式：点法式平面方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中(A,B,C)为法向量，(x0,y0,z0)为平面上一点。
提示：过原点的平面方程常数项为0。
步骤 2/3
目标：求平面与向量垂直时的参数k
平面法向量为(1,2,k)，与a=(1,2,1)平行时垂直，由对应分量成比例得k=1。
公式：两向量平行时对应分量成比例。
提示：平面与向量垂直等价于法向量与向量平行。
步骤 3/3
目标：求过点且与两向量平行的平面方程
法向量n=a×b=(4,-11,-3)，过点M(2,0,-1)，得方程4(x-2)-11y-3(z+1)=0，化简得4x-11y-3z-11=0。
公式：向量积：a×b = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)；点法式平面方程。
提示：与两向量平行即法向量垂直于这两个向量，故取它们的叉积。

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