人邮高数 第5章 第5-3-19题

教材习题

📝 题目

19．求证：两直线 $\displaystyle l_{1}: \frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}, l_{2}: \frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}$ 在同一平面上的条件为 $\left|\begin{array}{ccc}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ m_{1} & n_{1} & p_{1} \\ m_{2} & n_{2} & p_{2}\end{array}\right|=0$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**证明：** 两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 在同一平面上，等价于它们共面。 直线 $l_1$ 过点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$，方向向量为 $\vec{v}_1 = (m_1, n_1, p_1)$； 直线 $l_2$ 过点 $P_2(x_2, y_2, z_2)$，方向向量为 $\vec{v}_2 = (m_2, n_2, p_2)$。

两直线共面的充要条件是：向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$、$\vec{v}_1$、$\vec{v}_2$ 共面，即它们的混合积为零：

$$ \overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = 0. $$

计算混合积，用行列式表示为：

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1), $$ $$ \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix}. $$

于是混合积为：

$$ \overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix}. $$

因此，两直线共面的条件为：

$$ \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix} = 0. $$

证毕。

**难度评级：★★☆☆☆** （属于空间解析几何中基本共面条件的向量证明，思路直接，计算简单。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：明确两直线共面的几何条件
两条直线共面等价于它们的方向向量和连接两直线上点的向量共面，即混合积为零。
提示：注意共面条件与向量共面的关系。
步骤 2/6
目标：写出两直线的点向式参数
直线 l1 过点 P1(x1, y1, z1)，方向向量 v1 = (m1, n1, p1)；直线 l2 过点 P2(x2, y2, z2)，方向向量 v2 = (m2, n2, p2)。
提示：方向向量由分母给出。
步骤 3/6
目标：构造向量 P1P2
向量 P1P2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
步骤 4/6
目标：写出混合积为零的条件
三向量共面等价于混合积 (P1P2) · (v1 × v2) = 0。
提示：混合积可用行列式表示。
步骤 5/6
目标：将混合积表示为行列式
计算 v1 × v2 的行列式，再与 P1P2 点乘，得到三阶行列式：| x2-x1 y2-y1 z2-z1; m1 n1 p1; m2 n2 p2 | = 0。
公式：\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix} = 0
提示：行列式第一行为 P1P2 坐标，第二、三行为方向向量。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，两直线共面的充要条件为所给行列式等于零。

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