人邮高数 第5章 第5-3-8题
📝 题目
8．求直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x-4 y+z=0, \\ 3 x-y-2 z-9=0\end{array}\right.$ 在平面 $4 x-y+z=1$ 的投影直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先将直线的一般式方程转化为对称式（点向式）。 直线由两个平面方程联立给出：
$$ \begin{cases} 2x - 4y + z = 0, & (1)\\ 3x - y - 2z - 9 = 0. & (2) \end{cases} $$
**第一步：求直线的方向向量** 方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两平面的法向量。 法向量分别为 $\vec{n}_1 = (2, -4, 1)$，$\vec{n}_2 = (3, -1, -2)$。 方向向量：
$$ \vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -4 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} $$
计算：
$$ \vec{s} = \big( (-4)(-2) - (1)(-1),\; (1)(3) - (2)(-2),\; (2)(-1) - (-4)(3) \big) $$
$$ = (8 + 1,\; 3 + 4,\; -2 + 12) = (9, 7, 10). $$
**第二步：求直线上一点** 令 $z = 0$，代入(1)(2)：
$$ \begin{cases} 2x - 4y = 0 \Rightarrow x = 2y,\\ 3x - y - 9 = 0. \end{cases} $$
代入 $x = 2y$ 到第二式： $3(2y) - y - 9 = 6y - y - 9 = 5y - 9 = 0 \Rightarrow y = \frac{9}{5}$， 则 $x = \frac{18}{5}$。 所以直线上一点 $P_0\left(\frac{18}{5}, \frac{9}{5}, 0\right)$。
直线对称式：
$$ \frac{x - \frac{18}{5}}{9} = \frac{y - \frac{9}{5}}{7} = \frac{z}{10}. $$
**第三步：求投影直线方向** 投影直线是过原直线且垂直于已知平面 $4x - y + z = 1$ 的平面与已知平面的交线。 已知平面法向量 $\vec{n} = (4, -1, 1)$。
过原直线且垂直于已知平面的平面法向量为 $\vec{s} \times \vec{n}$。
计算：
$$ \vec{s} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 9 & 7 & 10 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix} $$
$$ = \big( 7\cdot 1 - 10\cdot(-1),\; 10\cdot 4 - 9\cdot 1,\; 9\cdot(-1) - 7\cdot 4 \big) $$
$$ = (7 + 10,\; 40 - 9,\; -9 - 28) = (17, 31, -37). $$
所以过原直线且垂直于已知平面的平面方程为：
$$ 17\left(x - \frac{18}{5}\right) + 31\left(y - \frac{9}{5}\right) - 37(z - 0) = 0. $$
化简：
$$ 17x + 31y - 37z - \frac{306}{5} - \frac{279}{5} = 0 $$ $$ 17x + 31y - 37z - \frac{585}{5} = 0 $$ $$ 17x + 31y - 37z - 117 = 0. $$
**第四步：投影直线即为两平面交线** 投影直线方程：
$$ \boxed{\begin{cases} 4x - y + z = 1,\\ 17x + 31y - 37z = 117. \end{cases}} $$
难度：★★☆☆☆