人邮高数 第5章 第5-3-*22题

教材习题

📝 题目

＊22．设直线 $\displaystyle l: \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}$ ，其中 $\boldsymbol{s}=(m, n, p), M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，直线 $l$外一点为 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，证明：点 $M_{1}$ 到直线 $l$ 的距离为 $\displaystyle d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{1} M_{0}} \times \boldsymbol{s}\right|}{|\boldsymbol{s}|}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**证明** 设直线 $l$ 过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为 $\boldsymbol{s}=(m,n,p)$。点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 为直线外一点。 构造向量 $$ \overrightarrow{M_1 M_0} = (x_0 - x_1,\; y_0 - y_1,\; z_0 - z_1). $$ 点 $M_1$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 等于以 $\overrightarrow{M_1 M_0}$ 和 $\boldsymbol{s}$ 为邻边的平行四边形的面积除以底边 $|\boldsymbol{s}|$ 的长度。 平行四边形的面积为 $$ \left|\overrightarrow{M_1 M_0} \times \boldsymbol{s}\right|, $$ 因此 $$ d = \frac{\left|\overrightarrow{M_1 M_0} \times \boldsymbol{s}\right|}{|\boldsymbol{s}|}. $$ 此即为点到直线的距离公式。

**难度评级**：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：明确已知条件
直线 l 过点 M0(x0,y0,z0)，方向向量为 s=(m,n,p)；点 M1(x1,y1,z1) 是直线外一点。
步骤 2/5
目标：构造向量
从 M1 指向 M0 的向量：\(\overrightarrow{M_1M_0} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1)\)。
公式：\overrightarrow{M_1M_0} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1)
步骤 3/5
目标：几何解释
点 M1 到直线 l 的距离 d 等于以 \(\overrightarrow{M_1M_0}\) 和 s 为邻边的平行四边形的面积除以底边 |s| 的长度。
步骤 4/5
目标：计算面积
平行四边形的面积等于两向量叉积的模：\(\left|\overrightarrow{M_1M_0} \times \boldsymbol{s}\right|\)。
公式：\left|\overrightarrow{M_1M_0} \times \boldsymbol{s}\right|
步骤 5/5
目标：得出距离公式
因此，距离 d = 面积 / 底边长 = \(\frac{\left|\overrightarrow{M_1M_0} \times \boldsymbol{s}\right|}{|\boldsymbol{s}|}\)。
公式：d = \frac{\left|\overrightarrow{M_1M_0} \times \boldsymbol{s}\right|}{|\boldsymbol{s}|}

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