人邮高数 第5章 第5-4-17题
📝 题目
17．证明曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}4 x-5 y-10 z-20=0, \\ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ 是两条直线．
\begin{tabular}{|l|l|} \hline 向量及其性质 & \begin{tabular}{l} 会计算二阶、三阶行列式 \\ 理解空间直角坐标系 \\ 理解向量的概念及其表示 \\ 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） \\ 掌握两个向量垂直、平行的条件 \\ 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法 \end{tabular} \\ \hline 平面与直线 & \begin{tabular}{l} 掌握平面的方程及其求法 \\ 掌握直线的方程及其求法 \\ 会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 \end{tabular} \\ \hline 曲面与曲线 & \begin{tabular}{l} 理解曲面方程的概念 \\ 了解常用二次曲面的方程及其图形 \\ 了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 \\ 了解母线平行于坐标轴的柱面方程 \\ 了解空间曲线的参数方程和一般方程 \\ 了解曲面的交线在坐标平面上的投影 \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明曲线 $$ \begin{cases} 4x - 5y - 10z - 20 = 0, \$$2mm] \displaystyle{\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{4} = 1} \end{cases} $$ 是两条直线，即证明该方程组表示两个相交（或平行）的直线，或者说该交线退化为两条直线。
**第一步：分析方程结构** 第一个方程是平面方程： $$ 4x - 5y - 10z = 20 $$ 第二个方程是双曲面的标准形式： $$ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{4} = 1 $$ 平面与双曲面相交，一般情况下交线是二次曲线。要使其退化为两条直线，需要平面恰好通过双曲面的中心且方向合适，或平面与双曲面相切于两条母线。
**第二步：尝试参数化或消元** 由第一个方程解出 $z$： $$ 10z = 4x - 5y - 20 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{4x - 5y - 20}{10} $$ 代入第二个方程： $$ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{1}{4}\left(\frac{4x - 5y - 20}{10}\right)^{2} = 1 $$ 计算平方项： $$ \left(\frac{4x - 5y - 20}{10}\right)^{2} = \frac{(4x - 5y - 20)^{2}}{100} $$ 因此方程变为： $$ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x - 5y - 20)^{2}}{100} = 1 $$ 化简系数： $$ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{(4x - 5y - 20)^{2}}{400} = 1 $$
**第三步：通分并整理** 通分 $400$： $$ \frac{16x^{2}}{400} + \frac{25y^{2}}{400} - \frac{(4x - 5y - 20)^{2}}{400} = 1 $$ 即： $$ \frac{16x^{2} + 25y^{2} - (4x - 5y - 20)^{2}}{400} = 1 $$ 所以： $$ 16x^{2} + 25y^{2} - (4x - 5y - 20)^{2} = 400 $$
**第四步：展开平方项** $$ (4x - 5y - 20)^{2} = 16x^{2} + 25y^{2} + 400 - 40xy - 160x + 200y $$ 代入： $$ 16x^{2} + 25y^{2} - \left(16x^{2} + 25y^{2} + 400 - 40xy - 160x + 200y\right) = 400 $$ 化简左边： $$ 16x^{2} + 25y^{2} - 16x^{2} - 25y^{2} - 400 + 40xy + 160x - 200y = 400 $$ 得到： $$ 40xy + 160x - 200y - 400 = 400 $$ 即： $$ 40xy + 160x - 200y - 800 = 0 $$
**第五步：因式分解** 除以 $40$： $$ xy + 4x - 5y - 20 = 0 $$ 分组因式分解： $$ x(y + 4) - 5(y + 4) = (x - 5)(y + 4) = 0 $$ 因此： $$ x - 5 = 0 \quad\text{或}\quad y + 4 = 0 $$
**第六步：还原为空间直线** - 当 $x = 5$ 时，代入平面方程： $$ 4\cdot5 - 5y - 10z = 20 \quad\Rightarrow\quad 20 - 5y - 10z = 20 \quad\Rightarrow\quad -5y - 10z = 0 \quad\Rightarrow\quad y + 2z = 0 $$ 得到第一条直线： $$ \begin{cases} x = 5, \\ y + 2z = 0 \end{cases} $$ - 当 $y = -4$ 时，代入平面方程： $$ 4x - 5(-4) - 10z = 20 \quad\Rightarrow\quad 4x + 20 - 10z = 20 \quad\Rightarrow\quad 4x - 10z = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x - 5z = 0 $$ 得到第二条直线： $$ \begin{cases} y = -4, \\ 2x - 5z = 0 \end{cases} $$
因此原曲线由两条直线组成，证毕。
**难度评级**：★★★☆☆ （需要空间解析几何中曲面与平面交线的退化条件判断，以及代数消元与因式分解技巧，属于中等难度。）