人邮高数 第5章 第5-4-3题
📝 题目
3．方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y+2 z=0$ 表示什么曲面？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先将方程整理为标准形式。原方程为：
$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+2z=0 $$
我们分别对 $x$、$y$、$z$ 进行配方。
对于 $x$ 项： $x^{2} - 2x = (x-1)^{2} - 1$
对于 $y$ 项： $y^{2} + 4y = (y+2)^{2} - 4$
对于 $z$ 项： $z^{2} + 2z = (z+1)^{2} - 1$
代入原方程：
$$ (x-1)^{2} - 1 + (y+2)^{2} - 4 + (z+1)^{2} - 1 = 0 $$
合并常数项：
$$ (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z+1)^{2} - 6 = 0 $$
移项得：
$$ (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z+1)^{2} = 6 $$
这是球心在 $(1,\,-2,\,-1)$，半径 $r = \sqrt{6}$ 的球面方程。
因此，原方程表示一个球面。
难度评级：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将方程整理为标准形式
原方程为 x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z = 0。分别对 x、y、z 进行配方。
提示：配方时注意一次项系数的一半平方。
步骤 2/7
目标：对 x 项配方
x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1
公式：x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1
步骤 3/7
目标：对 y 项配方
y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4
公式：y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4
步骤 4/7
目标：对 z 项配方
z^2 + 2z = (z+1)^2 - 1
公式：z^2 + 2z = (z+1)^2 - 1
步骤 5/7
目标：代入并合并常数项
代入得 (x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + (z+1)^2 - 1 = 0，合并常数项得 (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 - 6 = 0
提示：常数项合并：-1-4-1 = -6
步骤 6/7
目标：移项得到标准方程
移项得 (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 6
公式：(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 6
提示：这是球面方程的标准形式。
步骤 7/7
目标：识别曲面类型
方程表示球心在 (1, -2, -1)，半径 r = √6 的球面。
提示：球面方程一般形式：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2
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