人邮高数 第5章 第5-4-5题
📝 题目
5．把 $z O x$ 面上的抛物线 $z=x^{2}+1$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑在 $zOx$ 平面上的抛物线： $$ z = x^{2} + 1 $$ 该曲线绕 $z$ 轴旋转，意味着在旋转过程中，每个点 $(x,0,z)$ 会生成一个垂直于 $z$ 轴的圆，圆半径为原点到 $z$ 轴的距离，即 $|x|$。
因此，对于旋转后的曲面上的任意一点 $(x,y,z)$，它到 $z$ 轴的距离为 $$ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$ 这个距离应当等于原抛物线上对应点的 $|x|$ 坐标，而原抛物线方程中的 $x^{2}$ 正好是距离的平方。
于是，将原方程中的 $x^{2}$ 替换为 $x^{2}+y^{2}$，得到旋转曲面方程： $$ z = (x^{2} + y^{2}) + 1 $$ 即 $$ \boxed{z = x^{2} + y^{2} + 1} $$
此曲面是一个开口向上的旋转抛物面，顶点在 $(0,0,1)$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解旋转曲面的形成原理
抛物线 z = x^2 + 1 在 zOx 平面上，绕 z 轴旋转时，每个点 (x,0,z) 生成一个垂直于 z 轴的圆，圆半径为 |x|。
提示：旋转曲面由母线绕轴旋转得到，关键是找到旋转后点坐标与母线坐标的关系。
步骤 2/3
目标：建立旋转后点的坐标关系
设旋转后曲面上任意一点为 (x,y,z)，它到 z 轴的距离为 √(x^2 + y^2)，该距离应等于母线上对应点的 |x| 坐标。
公式：√(x^2 + y^2) = |x|
提示：注意旋转后点的 x 坐标与母线上点的 x 坐标不同，但距离相等。
步骤 3/3
目标：代入原方程得到旋转曲面方程
原抛物线方程为 z = x^2 + 1，将 x^2 替换为 (x^2 + y^2)（因为 x^2 = (√(x^2+y^2))^2），得到 z = (x^2 + y^2) + 1。
公式：z = x^2 + y^2 + 1
提示：绕 z 轴旋转时，方程中 x^2 变为 x^2+y^2。
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