人邮高数 第5章 第5-4-6题
📝 题目
6．把 $x O y$ 面上的直线 $x+y=1$ 绕 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知直线在 $xOy$ 平面上的方程为 $$ x + y = 1 $$ 该直线绕 $y$ 轴旋转，旋转过程中，直线上任意一点 $(x_0, y_0, 0)$ 满足 $$ x_0 + y_0 = 1 $$ 当绕 $y$ 轴旋转时，该点形成的轨迹是一个圆，圆心在 $(0, y_0, 0)$，半径为 $|x_0|$。
因此，对于旋转后曲面上的任意一点 $(x, y, z)$，它到 $y$ 轴的距离平方为 $$ x^2 + z^2 $$ 而该距离必须等于原点到直线上对应点的水平距离 $|x_0|$，并且 $y = y_0$ 保持不变。由直线方程可得 $$ x_0 = 1 - y_0 = 1 - y $$ 因此旋转曲面的方程为 $$ x^2 + z^2 = (1 - y)^2 $$ 即 $$ x^2 + z^2 = (1 - y)^2 $$ 这是一个以 $y$ 轴为旋转轴的旋转抛物面（实际上是圆锥面的一种退化形式，因为母线是直线）。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定旋转前直线上的点坐标关系
在xOy平面上，直线方程为x+y=1。设直线上任意一点为(x0, y0, 0)，则满足x0 + y0 = 1。
公式：x0 + y0 = 1
提示：注意旋转轴为y轴，因此y坐标保持不变。
步骤 2/3
目标：分析旋转过程中点的轨迹
当直线绕y轴旋转时，直线上点(x0, y0, 0)的轨迹是一个圆，圆心在(0, y0, 0)，半径为|x0|。因此，旋转后曲面上任意一点(x, y, z)满足：y = y0，且到y轴的距离平方x^2+z^2等于半径平方x0^2。
公式：x^2 + z^2 = x0^2
提示：旋转曲面上的点与母线上点的y坐标相同。
步骤 3/3
目标：消去参数x0和y0得到曲面方程
由直线方程x0 + y0 = 1得x0 = 1 - y0 = 1 - y。代入x^2+z^2 = x0^2得x^2+z^2 = (1-y)^2。
公式：x^2 + z^2 = (1 - y)^2
提示：最终方程不含参数，即为旋转曲面方程。
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