人邮高数 第5章 第5-4-7题
📝 题目
7．把 $y O z$ 面上的双曲线 $y^{2}-z^{2}=1$ 分别绕 $z$ 轴及 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目：** 把 $yOz$ 面上的双曲线 $y^{2}-z^{2}=1$ 分别绕 $z$ 轴及 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。
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### 1. 绕 $z$ 轴旋转
在 $yOz$ 平面中，曲线方程为 $$ y^{2} - z^{2} = 1 $$ 绕 $z$ 轴旋转时，$z$ 坐标不变，而 $y$ 坐标被替换为到 $z$ 轴的距离 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。 因此，旋转曲面方程为： $$ (\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2} - z^{2} = 1 $$ 即 $$ x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1 $$
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### 2. 绕 $y$ 轴旋转
绕 $y$ 轴旋转时，$y$ 坐标不变，而 $z$ 坐标被替换为到 $y$ 轴的距离 $\sqrt{x^{2}+z^{2}}$。 原方程 $y^{2} - z^{2} = 1$ 中的 $z$ 替换为 $\sqrt{x^{2}+z^{2}}$，得： $$ y^{2} - (\sqrt{x^{2}+z^{2}})^{2} = 1 $$ 即 $$ y^{2} - (x^{2}+z^{2}) = 1 $$ 整理得： $$ y^{2} - x^{2} - z^{2} = 1 $$
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**最终结果：** - 绕 $z$ 轴旋转：$\displaystyle{x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1}$ - 绕 $y$ 轴旋转：$\displaystyle{y^{2} - x^{2} - z^{2} = 1}$
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难度：★★☆☆☆ （基础旋转曲面方程代入，只需掌握坐标替换规则即可。）