人邮高数 第6章 第6-2-10题
📝 题目
10．求函数 $\displaystyle z=\frac{y}{x}$ ，当 $x=2, y=1, \Delta x=0.1, \Delta y=-0.2$ 时的全增量和全微分．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**1. 全增量**
函数 $ z = \frac{y}{x} $，在点 $(x, y)$ 处给自变量增量 $\Delta x, \Delta y$ 后，全增量定义为： $$ \Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y) $$
代入 $ x=2, y=1, \Delta x=0.1, \Delta y=-0.2 $： $$ \Delta z = \frac{1 + (-0.2)}{2 + 0.1} - \frac{1}{2} = \frac{0.8}{2.1} - 0.5 $$
计算： $$ \frac{0.8}{2.1} = \frac{8}{21} \approx 0.380952 $$ 所以： $$ \Delta z = \frac{8}{21} - \frac{1}{2} = \frac{16}{42} - \frac{21}{42} = -\frac{5}{42} $$
因此全增量为： $$ \boxed{\Delta z = -\frac{5}{42}} $$
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**2. 全微分**
函数 $ z = \frac{y}{x} $ 的偏导数为： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x^2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} $$
全微分公式： $$ \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y $$
将 $\mathrm{d}x = \Delta x = 0.1$，$\mathrm{d}y = \Delta y = -0.2$，以及 $x=2, y=1$ 代入： $$ \mathrm{d}z = \left(-\frac{1}{2^2}\right) \times 0.1 + \frac{1}{2} \times (-0.2) = -\frac{1}{4} \times 0.1 - 0.1 $$
计算： $$ -\frac{0.1}{4} = -0.025,\quad -0.025 - 0.1 = -0.125 $$
因此全微分为： $$ \boxed{\mathrm{d}z = -0.125} $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ （直接套用全增量与全微分定义，计算简单，无复杂技巧。）