人邮高数 第6章 第6-2-5题

教材习题

📝 题目

5．设 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}$ ，求证 $\displaystyle x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=2 z$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 已知 $$ z = e^{-\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)}. $$ 先对 $x$ 求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = e^{-\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right) = z \cdot \left( \frac{1}{x^{2}} \right). $$ 因此 $$ x^{2} \frac{\partial z}{\partial x} = x^{2} \cdot z \cdot \frac{1}{x^{2}} = z. $$

再对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = e^{-\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right) = z \cdot \left( \frac{1}{y^{2}} \right). $$ 因此 $$ y^{2} \frac{\partial z}{\partial y} = y^{2} \cdot z \cdot \frac{1}{y^{2}} = z. $$

将两式相加得 $$ x^{2} \frac{\partial z}{\partial x} + y^{2} \frac{\partial z}{\partial y} = z + z = 2z. $$ 证毕。

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：写出函数表达式
已知函数 z = e^{-(1/x + 1/y)}。
公式：z = e^{-(1/x + 1/y)}
步骤 2/6
目标：对 x 求偏导
将 y 视为常数，对 x 求导：∂z/∂x = e^{-(1/x+1/y)} * ∂/∂x(-1/x - 1/y) = z * (1/x^2)。
公式：∂z/∂x = z * (1/x^2)
提示：注意指数函数的链式法则，以及 1/x 的导数为 -1/x^2。
步骤 3/6
目标：计算 x^2 ∂z/∂x
将上一步结果乘以 x^2：x^2 ∂z/∂x = x^2 * z * (1/x^2) = z。
公式：x^2 ∂z/∂x = z
步骤 4/6
目标：对 y 求偏导
将 x 视为常数，对 y 求导：∂z/∂y = e^{-(1/x+1/y)} * ∂/∂y(-1/x - 1/y) = z * (1/y^2)。
公式：∂z/∂y = z * (1/y^2)
提示：类似对 x 求导的过程。
步骤 5/6
目标：计算 y^2 ∂z/∂y
将上一步结果乘以 y^2：y^2 ∂z/∂y = y^2 * z * (1/y^2) = z。
公式：y^2 ∂z/∂y = z
步骤 6/6
目标：求和并证明等式
将 x^2 ∂z/∂x 和 y^2 ∂z/∂y 相加：x^2 ∂z/∂x + y^2 ∂z/∂y = z + z = 2z。
公式：x^2 ∂z/∂x + y^2 ∂z/∂y = 2z
提示：等式得证。

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