人邮高数 第6章 第6-2-6题

教材习题

📝 题目

6．求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}, \\ y=4\end{array}\right.$ 在点 $(2,4,5)$ 处的切线关于 $x$ 轴的斜率．

💡 答案解析

[AI解答]

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首先，曲线由方程组给出： $$ \begin{cases} z = \dfrac{x^{2} + y^{2}}{4}, \$$1em] y = 4. \end{cases} $$ 将 $y = 4$ 代入第一个方程，得到： $$ z = \frac{x^{2} + 16}{4} = \frac{x^{2}}{4} + 4. $$ 因此，曲线实际上是平面 $y = 4$ 上的一条抛物线，参数形式可以写作： $$ x = x,\quad y = 4,\quad z = \frac{x^{2}}{4} + 4. $$

在点 $(2,4,5)$ 处，对应的参数 $x = 2$。 对 $z$ 关于 $x$ 求导： $$ \frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^{2}}{4} + 4 \right) = \frac{x}{2}. $$ 在 $x = 2$ 处： $$ \left. \frac{dz}{dx} \right|_{x=2} = \frac{2}{2} = 1. $$

由于曲线在平面 $y=4$ 内，切线方向向量为 $(1, 0, \frac{dz}{dx})$，而切线关于 $x$ 轴的斜率，即切线与 $x$ 轴正向夹角的正切值，在三维中通常指切线在 $xOz$ 平面投影的斜率，即 $\frac{dz}{dx}$。

因此，所求斜率为： $$ \boxed{1} $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将曲线方程化简为显式形式
将 y=4 代入 z=(x^2+y^2)/4，得到 z=(x^2+16)/4 = x^2/4 + 4。因此曲线在平面 y=4 上，表示为 z=x^2/4+4。
公式：z = x^2/4 + 4
提示：注意代入后消去 y，得到关于 x 的一元函数。
步骤 2/4
目标：确定参数并求导
以 x 为参数，曲线参数方程为 (x, 4, x^2/4+4)。求 dz/dx = d/dx (x^2/4+4) = x/2。
公式：dz/dx = x/2
提示：对 x 求导时，y 为常数。
步骤 3/4
目标：计算在给定点的导数值
点 (2,4,5) 对应 x=2，代入导数得 dz/dx = 2/2 = 1。
公式：dz/dx|_{x=2} = 1
提示：确保点坐标满足曲线方程。
步骤 4/4
目标：解释斜率含义
切线关于 x 轴的斜率即切线与 x 轴正向夹角的正切值，在三维中通常指切线在 xOz 平面投影的斜率，即 dz/dx。因此斜率为 1。
提示：由于 y 固定，切线方向向量为 (1,0,dz/dx)，斜率即 dz/dx。

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