人邮高数 第6章 第6-2-7题

教材习题

📝 题目

7．求下列三元函数的偏导数 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y} 、 \frac{\partial u}{\partial z}$ ． （1）$u=x^{y z}$ ； （2）$\displaystyle u=x^{\sin \frac{y}{z}}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**（1）** 已知 $ u = x^{yz} $，这是幂指函数形式，可先取自然对数再求偏导，或直接利用指数函数表示： $$ u = e^{\displaystyle yz \ln x} $$

- 对 $ x $ 求偏导（将 $ y,z $ 视为常数）： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = e^{\displaystyle yz \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(yz \ln x) = x^{yz} \cdot \frac{yz}{x} = yz \, x^{yz-1} $$

- 对 $ y $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = e^{\displaystyle yz \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(yz \ln x) = x^{yz} \cdot (z \ln x) = z \, x^{yz} \ln x $$

- 对 $ z $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial z} = e^{\displaystyle yz \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial z}(yz \ln x) = x^{yz} \cdot (y \ln x) = y \, x^{yz} \ln x $$

因此： $$ \boxed{\frac{\partial u}{\partial x}=yz\,x^{yz-1},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=z\,x^{yz}\ln x,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=y\,x^{yz}\ln x} $$

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**（2）** 已知 $ u = x^{\displaystyle \sin\frac{y}{z}} $，同样化为指数形式： $$ u = e^{\displaystyle \sin\frac{y}{z} \cdot \ln x} $$

- 对 $ x $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = e^{\displaystyle \sin\frac{y}{z} \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left( \sin\frac{y}{z} \ln x \right) = x^{\sin\frac{y}{z}} \cdot \frac{\sin\frac{y}{z}}{x} = \frac{\sin\frac{y}{z}}{x} \, x^{\sin\frac{y}{z}} $$

- 对 $ y $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = e^{\displaystyle \sin\frac{y}{z} \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left( \sin\frac{y}{z} \ln x \right) = x^{\sin\frac{y}{z}} \cdot \left( \cos\frac{y}{z} \cdot \frac{1}{z} \cdot \ln x \right) = \frac{\ln x}{z} \cos\frac{y}{z} \, x^{\sin\frac{y}{z}} $$

- 对 $ z $ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial z} = e^{\displaystyle \sin\frac{y}{z} \ln x} \cdot \frac{\partial}{\partial z}\left( \sin\frac{y}{z} \ln x \right) = x^{\sin\frac{y}{z}} \cdot \left( \cos\frac{y}{z} \cdot \left(-\frac{y}{z^2}\right) \cdot \ln x \right) = -\frac{y \ln x}{z^2} \cos\frac{y}{z} \, x^{\sin\frac{y}{z}} $$

因此： $$ \boxed{\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\sin\frac{y}{z}}{x} x^{\sin\frac{y}{z}},\quad \frac{\partial u}{\partial y}= \frac{\ln x}{z} \cos\frac{y}{z} \, x^{\sin\frac{y}{z}},\quad \frac{\partial u}{\partial z}= -\frac{y\ln x}{z^2} \cos\frac{y}{z} \, x^{\sin\frac{y}{z}}} $$

难度：★★☆☆☆ （主要是幂指函数求偏导的基本方法，注意链式法则即可）

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将函数化为指数形式
对于 (1) u = x^{yz}，写成 u = e^{yz ln x}；对于 (2) u = x^{sin(y/z)}，写成 u = e^{sin(y/z) ln x}。
公式：a^b = e^{b ln a}
提示：幂指函数求导常用此方法
步骤 2/4
目标：求偏导数 ∂u/∂x
(1) ∂u/∂x = e^{yz ln x} * (yz/x) = yz x^{yz-1}；(2) ∂u/∂x = e^{sin(y/z) ln x} * (sin(y/z)/x) = (sin(y/z)/x) x^{sin(y/z)}。
公式：∂/∂x (e^{f(x)}) = e^{f(x)} f'(x)
提示：将 y,z 视为常数
步骤 3/4
目标：求偏导数 ∂u/∂y
(1) ∂u/∂y = e^{yz ln x} * (z ln x) = z x^{yz} ln x；(2) ∂u/∂y = e^{sin(y/z) ln x} * (cos(y/z)*(1/z)*ln x) = (ln x / z) cos(y/z) x^{sin(y/z)}。
公式：∂/∂y (e^{f(y)}) = e^{f(y)} f'(y)
提示：注意链式法则
步骤 4/4
目标：求偏导数 ∂u/∂z
(1) ∂u/∂z = e^{yz ln x} * (y ln x) = y x^{yz} ln x；(2) ∂u/∂z = e^{sin(y/z) ln x} * (cos(y/z)*(-y/z^2)*ln x) = -(y ln x / z^2) cos(y/z) x^{sin(y/z)}。
公式：∂/∂z (e^{f(z)}) = e^{f(z)} f'(z)
提示：注意 sin(y/z) 对 z 的导数

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