人邮高数 第6章 第6-2-*16题
📝 题目
＊16．当 $x 、 y$ 的绝对值很小时，推出函数 $\displaystyle \arctan \frac{x y}{1+x y}$ 的近似公式．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求当 $x$ 和 $y$ 的绝对值很小时，函数 $$ \arctan \frac{x y}{1 + x y} $$ 的近似公式。
**步骤1：变量替换** 令 $$ u = \frac{x y}{1 + x y} $$ 当 $|x|, |y|$ 很小时，$|x y|$ 也很小，因此 $u$ 也很小。
**步骤2：使用 $\arctan u$ 的泰勒展开** 当 $u \to 0$ 时，有 $$ \arctan u = u - \frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} - \cdots $$ 因此，保留到一阶近似，我们有 $$ \arctan u \approx u $$
**步骤3：代入 $u$ 的表达式** 于是 $$ \arctan \frac{x y}{1 + x y} \approx \frac{x y}{1 + x y} $$
**步骤4：进一步展开分母** 由于 $|x y|$ 很小，还可以将 $\frac{1}{1 + x y}$ 展开： $$ \frac{1}{1 + x y} = 1 - x y + (x y)^2 - \cdots $$ 所以 $$ \frac{x y}{1 + x y} = x y (1 - x y + (x y)^2 - \cdots) = x y - (x y)^2 + (x y)^3 - \cdots $$
**步骤5：保留最低阶近似** 若只保留到一阶小量，则 $$ \arctan \frac{x y}{1 + x y} \approx x y $$
因此，所求近似公式为： $$ \boxed{\arctan \frac{x y}{1 + x y} \approx x y} $$
难度：★☆☆☆☆