人邮高数 第6章 第6-3-28题
📝 题目
28．设 $z=z(x, y)$ 为可微函数，且当 $y=x^{2}$ 时有 $z(x, y)=1$ 及 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=x(x \neq 0)$ ，求当 $y=x^{2}$ 时的 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $ z = z(x, y) $ 可微，且当 $ y = x^2 $ 时，有 $$ z(x, x^2) = 1, \quad \frac{\partial z}{\partial x} = x \quad (x \neq 0). $$ 要求当 $ y = x^2 $ 时的 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
**步骤1：对恒等式 $ z(x, x^2) = 1 $ 两边关于 $ x $ 求全导数** 由链式法则： $$ \frac{d}{dx} z(x, x^2) = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{\partial z}{\partial x} + 2x \frac{\partial z}{\partial y}. $$ 而左边是常数1的导数，为0，因此： $$ \frac{\partial z}{\partial x} + 2x \frac{\partial z}{\partial y} = 0. $$
**步骤2：代入已知条件** 已知在 $ y = x^2 $ 时，$\frac{\partial z}{\partial x} = x$，代入上式： $$ x + 2x \frac{\partial z}{\partial y} = 0. $$ 由于 $ x \neq 0 $，两边同时除以 $ x $： $$ 1 + 2 \frac{\partial z}{\partial y} = 0. $$
**步骤3：解得结果** $$ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac12. $$
因此，当 $ y = x^2 $ 时，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac12$。
难度：★★☆☆☆