人邮高数 第6章 第6-3-39题
📝 题目
39．设 $f(r)$ 为可微函数，$r=|\boldsymbol{r}|, \boldsymbol{r}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ ．求 $\boldsymbol{g r a d} f(r)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知 $ r = |\boldsymbol{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $，且 $ f(r) $ 是可微函数。 梯度定义为：
$$ \boldsymbol{\operatorname{grad}} f(r) = \frac{\partial f(r)}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial f(r)}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial f(r)}{\partial z} \boldsymbol{k}. $$
由链式法则，有：
$$ \frac{\partial f(r)}{\partial x} = f'(r) \cdot \frac{\partial r}{\partial x}. $$
而
$$ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{r}. $$
同理：
$$ \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}, \quad \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}. $$
因此：
$$ \boldsymbol{\operatorname{grad}} f(r) = f'(r) \left( \frac{x}{r} \boldsymbol{i} + \frac{y}{r} \boldsymbol{j} + \frac{z}{r} \boldsymbol{k} \right). $$
注意到 $\frac{x}{r} \boldsymbol{i} + \frac{y}{r} \boldsymbol{j} + \frac{z}{r} \boldsymbol{k} = \frac{\boldsymbol{r}}{r}$，即径向单位向量。 所以最终结果为：
$$ \boxed{\boldsymbol{\operatorname{grad}} f(r) = f'(r) \frac{\boldsymbol{r}}{r}}. $$
难度：★☆☆☆☆