人邮高数 第6章 第6-4-23题

[AI解答]

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**题目**：证明函数 $$ z = (1 + e^y) \cos x - y e^y $$ 有无穷多个极大值而无一极小值。

**解**： 首先求一阶偏导数：

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = -(1 + e^y) \sin x, $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} = e^y \cos x - e^y - y e^y = e^y (\cos x - 1 - y). $$

令两个偏导数为零：

由 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 得 $$ -(1+e^y)\sin x = 0 \quad\Rightarrow\quad \sin x = 0, $$ 所以 $$ x = n\pi,\quad n \in \mathbb{Z}. $$

由 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ 得 $$ e^y (\cos x - 1 - y) = 0, $$ 由于 $e^y > 0$，故 $$ \cos x - 1 - y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = \cos x - 1. $$

将 $x = n\pi$ 代入：

- 若 $n$ 为偶数，即 $x = 2k\pi$，则 $\cos x = 1$，得 $y = 1 - 1 = 0$。 - 若 $n$ 为奇数，即 $x = (2k+1)\pi$，则 $\cos x = -1$，得 $y = -1 - 1 = -2$。

因此所有驻点为： $$ (2k\pi, 0),\quad ((2k+1)\pi, -2),\quad k \in \mathbb{Z}. $$

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**第二步：判别极值** 计算二阶偏导数：

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -(1+e^y)\cos x, $$ $$ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = e^y(\cos x - 1 - y) + e^y(-1) = e^y(\cos x - 2 - y), $$ $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -e^y \sin x. $$

记 $$ A = z_{xx},\quad B = z_{xy},\quad C = z_{yy}, $$ 判别式 $\Delta = AC - B^2$。

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**情况1**：驻点 $(2k\pi, 0)$ 此时 $\cos x = 1,\ \sin x = 0,\ y=0$，代入得： $$ A = -(1+e^0)\cdot 1 = -2, $$ $$ B = -e^0 \cdot 0 = 0, $$ $$ C = e^0 (1 - 2 - 0) = -1. $$ 于是 $$ \Delta = (-2)(-1) - 0 = 2 > 0, $$ 且 $A = -2 < 0$，故该点为极大值点。

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**情况2**：驻点 $((2k+1)\pi, -2)$ 此时 $\cos x = -1,\ \sin x = 0,\ y = -2$，代入得： $$ A = -(1+e^{-2})\cdot (-1) = 1 + e^{-2} > 0, $$ $$ B = -e^{-2} \cdot 0 = 0, $$ $$ C = e^{-2}(-1 - 2 - (-2)) = e^{-2}(-1 - 2 + 2) = e^{-2}(-1) = -e^{-2} < 0. $$ 于是 $$ \Delta = (1+e^{-2})(-e^{-2}) - 0 = -e^{-2}(1+e^{-2}) < 0. $$ $\Delta < 0$ 说明该点为鞍点，不是极值点。

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因此，所有极值点均为 $(2k\pi, 0)$，且都是极大值，无极小值。由于 $k$ 取任意整数，故有无穷多个极大值。

**难度评级**：★★☆☆☆