人邮高数 第6章 第6-4-3题

教材习题

📝 题目

3．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=-t^{2} \\ z=t^{3}\end{array}\right.$ 与平面 $x+2 y+z-4=0$ 平行的切线方程．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 题目要求曲线与给定平面平行的切线方程。曲线参数方程为 $$ \begin{cases} x = t, \\ y = -t^2, \\ z = t^3 \end{cases} $$ 平面方程为 $$ x + 2y + z - 4 = 0 $$ 其法向量为 $\mathbf{n} = (1, 2, 1)$。

曲线切向量为 $$ \mathbf{r}'(t) = (1, -2t, 3t^2) $$ 当切线与平面平行时，切向量与平面的法向量垂直，即 $$ \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{n} = 0 $$ 代入计算： $$ 1 \cdot 1 + (-2t) \cdot 2 + (3t^2) \cdot 1 = 1 - 4t + 3t^2 = 0 $$ 即 $$ 3t^2 - 4t + 1 = 0 $$ 解得 $$ t = 1 \quad \text{或} \quad t = \frac{1}{3} $$

对应切点： 当 $t=1$ 时，$(x, y, z) = (1, -1, 1)$； 当 $t=\frac{1}{3}$ 时，$(x, y, z) = \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, \frac{1}{27}\right)$。

切线方向向量即 $\mathbf{r}'(t)$： - 当 $t=1$，方向向量为 $(1, -2, 3)$； - 当 $t=\frac{1}{3}$，方向向量为 $\left(1, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$，可化简为 $(3, -2, 1)$。

因此切线方程分别为： $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-1}{3} $$ 与 $$ \frac{x-\frac{1}{3}}{3} = \frac{y+\frac{1}{9}}{-2} = \frac{z-\frac{1}{27}}{1} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：理解题意，明确条件
曲线参数方程为 x=t, y=-t^2, z=t^3；平面方程为 x+2y+z-4=0，法向量 n=(1,2,1)。要求与平面平行的切线，即切向量与法向量垂直。
步骤 2/7
目标：求切向量
对参数方程求导得切向量 r'(t) = (1, -2t, 3t^2)。
公式：r'(t) = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)
步骤 3/7
目标：建立垂直条件
切线与平面平行等价于切向量与法向量垂直，即点积为0：r'(t)·n = 0。代入得 1*1 + (-2t)*2 + (3t^2)*1 = 1 - 4t + 3t^2 = 0。
公式：r'(t)·n = 0
步骤 4/7
目标：解方程求参数t
解二次方程 3t^2 - 4t + 1 = 0，因式分解得 (3t-1)(t-1)=0，解得 t=1 或 t=1/3。
步骤 5/7
目标：求切点坐标
将t代入参数方程：t=1时，切点(1,-1,1)；t=1/3时，切点(1/3, -1/9, 1/27)。
步骤 6/7
目标：求切线方向向量
t=1时，方向向量为 r'(1)=(1,-2,3)；t=1/3时，方向向量为 r'(1/3)=(1, -2/3, 1/3)，可化简为(3,-2,1)。
提示：方向向量可乘以非零常数简化
步骤 7/7
目标：写出切线方程
利用点向式方程： 第一条切线： (x-1)/1 = (y+1)/(-2) = (z-1)/3 第二条切线： (x-1/3)/3 = (y+1/9)/(-2) = (z-1/27)/1
公式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c

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