人邮高数 第1章 第1-6-*7题
📝 题目
＊7．函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是否有界？又当 $x \rightarrow \infty$ 时，函数是否为无穷大？为什么？
💡 答案解析
[AI解答]
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**问题分析**： 我们要判断函数 $y = x \cos x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是否有界，以及当 $x \to \infty$ 时它是否为无穷大。
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### 1. 判断函数是否有界
函数 $y = x \cos x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是**无界的**。
**理由**： 考虑点列 $x_n = 2n\pi$，此时 $\cos(2n\pi) = 1$，于是 $$ y(x_n) = 2n\pi \cdot 1 = 2n\pi. $$ 当 $n \to \infty$ 时，$2n\pi \to +\infty$，因此函数值可以任意大，故无上界。 同样，取 $x_n = (2n+1)\pi$，此时 $\cos((2n+1)\pi) = -1$，得 $$ y(x_n) = -(2n+1)\pi \to -\infty, $$ 故也无下界。因此函数在全体实数上无界。
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### 2. 判断当 $x \to \infty$ 时是否为无穷大
当 $x \to \infty$ 时，$y = x \cos x$ **不是无穷大**。
**理由**： 无穷大的定义是：对任意 $M>0$，存在 $X>0$，使得当 $|x|>X$ 时，恒有 $|f(x)| > M$。 但这里我们可以找到一列点使得函数值保持为 0，从而破坏这个条件。 取 $x_n = \displaystyle{\left(n+\frac12\right)\pi}$，此时 $\displaystyle \cos\left(\left(n+\frac12\right)\pi\right) = 0$，于是 $$ y(x_n) = \left(n+\frac12\right)\pi \cdot 0 = 0. $$ 当 $n \to \infty$ 时，$x_n \to \infty$，但函数值始终为 0，并不趋向无穷大。因此 $x \to \infty$ 时函数不是无穷大。
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**最终答案**： - 函数在 $(-\infty, +\infty)$ 上**无界**； - 当 $x \to \infty$ 时，函数**不是无穷大**。