人邮高数 第7章 第7-1-3题
📝 题目
3．设 $I=\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}-1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是圆环 $1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2$ 所确定的闭区域，则 $\_\_\_\_$ ． A．$I\gt 0$ B．$I\lt 0$ C．$I=0$ D．$I \neq 0$ 但符号不能确定
💡 答案解析
[AI解答]
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我们分析积分 $$ I = \displaystyle{\iint}_{D} \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}-1} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y, $$ 其中 $D$ 是圆环 $1 \le x^{2}+y^{2} \le 2$。
首先，在区域 $D$ 上，被积函数为 $$ f(x,y) = \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}-1}. $$ 当 $x^{2}+y^{2} = 1$ 时，$f=0$；当 $x^{2}+y^{2} > 1$ 时，$f>0$。 由于区域 $D$ 中除了边界 $x^{2}+y^{2}=1$ 以外，所有点都满足 $x^{2}+y^{2} > 1$，因此被积函数在 $D$ 内部处处为正，只在边界上为零。边界测度为零，不影响积分值。
因此，积分 $$ I = \iint_{D} \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}-1} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y > 0. $$
答案选 A．$I>0$。
难度评级：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析被积函数在区域D上的符号
被积函数为 f(x,y) = ∛(x²+y²-1)。在圆环区域 D: 1 ≤ x²+y² ≤ 2 上，当 x²+y²=1 时，f=0；当 x²+y²>1 时，f>0。由于区域内部所有点满足 x²+y²>1，边界测度为零，因此被积函数在D上几乎处处为正。
公式：f(x,y) = ∛(x²+y²-1)
提示：注意立方根函数在实数域上是单调递增的，且当自变量为正时函数值为正。
步骤 2/2
目标：判断积分值的符号
由于被积函数在区域D上几乎处处为正，且区域面积大于零，因此二重积分 I = ∬_D f(x,y) dxdy > 0。
公式：I = ∬_D ∛(x²+y²-1) dxdy
提示：若被积函数非负且不恒为零，则积分大于零。
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