人邮高数 第1章 第1-7-10题
📝 题目
10．证明：方程 $x^{5}-3 x-1=0$ 至少有一个实根介于 1 与 2 之间．
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明方程 $x^{5}-3x-1=0$ 至少有一个实根介于 1 与 2 之间，我们可以利用**零点定理**（介值定理的一个推论）。
**步骤1：构造函数** 令 $$ f(x)=x^{5}-3x-1 $$ 这是一个多项式函数，在 $\mathbb{R}$ 上连续，因此在闭区间 $[1,2]$ 上也连续。
**步骤2：计算端点函数值** 当 $x=1$ 时： $$ f(1)=1^{5}-3\cdot 1-1=1-3-1=-3 $$ 当 $x=2$ 时： $$ f(2)=2^{5}-3\cdot 2-1=32-6-1=25 $$
**步骤3：判断符号** 我们有 $$ f(1)=-3<0,\quad f(2)=25>0 $$ 即 $f(1)$ 与 $f(2)$ 异号。
**步骤4：应用零点定理** 由于 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，且 $f(1)\cdot f(2)<0$，由零点定理可知，至少存在一点 $c\in(1,2)$，使得 $$ f(c)=0 $$ 即 $c$ 是方程 $x^{5}-3x-1=0$ 的一个实根，且介于 1 与 2 之间。
因此，原命题得证。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并确认连续性
令 f(x)=x^5-3x-1，该函数为多项式函数，在全体实数上连续，因此在闭区间 [1,2] 上也连续。
公式：f(x)=x^5-3x-1
提示：多项式函数处处连续，可直接应用零点定理。
步骤 2/4
目标：计算区间端点函数值
计算 f(1) 和 f(2)：f(1)=1^5-3*1-1=-3，f(2)=2^5-3*2-1=25。
公式：f(1)=-3, f(2)=25
提示：注意计算准确，避免算术错误。
步骤 3/4
目标：判断端点函数值异号
f(1)=-3<0，f(2)=25>0，因此 f(1) 与 f(2) 异号。
公式：f(1)*f(2)<0
提示：异号是应用零点定理的关键条件。
步骤 4/4
目标：应用零点定理得出结论
由于 f(x) 在 [1,2] 上连续且 f(1)*f(2)<0，由零点定理知，至少存在一点 c∈(1,2) 使得 f(c)=0，即方程至少有一个实根介于 1 与 2 之间。
公式：零点定理：若 f 在 [a,b] 连续且 f(a)f(b)<0，则存在 c∈(a,b) 使 f(c)=0。
提示：零点定理只保证存在性，不提供具体位置。
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