人邮高数 第1章 第1-7-11题
📝 题目
11．证明：方程 $x-a \sin x-b=0$（其中 $a\gt 0, b\gt 0$ ）至少有一个不超过 $a+b$ 的正根．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 考虑函数 $$ f(x) = x - a\sin x - b, $$ 其中 $a>0, b>0$。 我们要证明存在一个正根 $x_0$ 满足 $0 < x_0 \leq a+b$。
首先，计算 $f(0)$： $$ f(0) = 0 - a\sin 0 - b = -b < 0. $$
其次，计算 $f(a+b)$： $$ f(a+b) = (a+b) - a\sin(a+b) - b = a - a\sin(a+b) = a\bigl(1 - \sin(a+b)\bigr). $$ 由于 $\sin(a+b) \leq 1$，因此 $$ 1 - \sin(a+b) \geq 0, $$ 从而 $$ f(a+b) = a\bigl(1 - \sin(a+b)\bigr) \geq 0. $$
现在分两种情况讨论：
1. 如果 $\sin(a+b) = 1$，则 $f(a+b) = 0$，此时 $x = a+b$ 就是方程的一个正根，且满足 $x \leq a+b$。
2. 如果 $\sin(a+b) < 1$，则 $f(a+b) > 0$。 此时 $f(0) < 0$，$f(a+b) > 0$，且 $f(x)$ 在 $[0, a+b]$ 上连续。由零点定理，存在 $x_0 \in (0, a+b)$ 使得 $f(x_0) = 0$，即方程有一个正根 $x_0$ 且 $x_0 < a+b$。
综上，无论哪种情况，方程 $x - a\sin x - b = 0$ 至少有一个不超过 $a+b$ 的正根。证毕。