人邮高数 第1章 第1-7-12题
📝 题目
12．设函数 $f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续，且 $f(0)=f(2 a)$ ，证明至少存在一点 $\xi \in[0, a]$ ，使 $f(\xi)=f(a+\xi)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 考虑辅助函数 $$ F(x) = f(x) - f(a+x), \quad x \in [0, a]. $$ 由题设，$f(x)$ 在 $[0,2a]$ 上连续，因此 $F(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续。
计算 $F(0)$ 和 $F(a)$： $$ F(0) = f(0) - f(a), \quad F(a) = f(a) - f(2a). $$ 由已知条件 $f(0) = f(2a)$，可得 $$ F(0) = f(0) - f(a), \quad F(a) = f(a) - f(0) = -[f(0) - f(a)] = -F(0). $$ 因此 $$ F(0) \cdot F(a) = -[F(0)]^2 \le 0. $$
若 $F(0) = 0$，则取 $\xi = 0$，即有 $f(0) = f(a)$，结论成立。 若 $F(0) \neq 0$，则 $F(0)$ 与 $F(a)$ 异号。由闭区间上连续函数的零点定理，至少存在一点 $\xi \in (0,a)$，使得 $F(\xi) = 0$，即 $$ f(\xi) = f(a+\xi). $$
综上，至少存在一点 $\xi \in [0,a]$，使得 $f(\xi) = f(a+\xi)$。 证毕。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
定义辅助函数 F(x) = f(x) - f(a+x)，其中 x ∈ [0, a]。由 f(x) 在 [0,2a] 上连续，知 F(x) 在 [0,a] 上连续。
公式：F(x) = f(x) - f(a+x)
提示：辅助函数通常由结论变形得到，将 f(ξ)=f(a+ξ) 移项得 f(ξ)-f(a+ξ)=0，故设 F(x)=f(x)-f(a+x)。
步骤 2/4
目标：计算端点函数值
计算 F(0)=f(0)-f(a)，F(a)=f(a)-f(2a)。由已知 f(0)=f(2a)，得 F(a)=f(a)-f(0)=-[f(0)-f(a)]=-F(0)。
公式：F(0)=f(0)-f(a), F(a)=f(a)-f(2a), 且 f(0)=f(2a) ⇒ F(a)=-F(0)
提示：注意利用已知条件 f(0)=f(2a) 简化 F(a)。
步骤 3/4
目标：分析乘积符号
计算 F(0)·F(a)=F(0)·[-F(0)]=-[F(0)]^2 ≤ 0。
公式：F(0)·F(a) = -[F(0)]^2 ≤ 0
提示：乘积非正，说明两端点函数值异号或至少一个为零。
步骤 4/4
目标：分类讨论并应用零点定理
若 F(0)=0，则取 ξ=0，有 f(0)=f(a)，结论成立。若 F(0)≠0，则 F(0) 与 F(a) 异号，由零点定理，存在 ξ∈(0,a) 使 F(ξ)=0，即 f(ξ)=f(a+ξ)。
公式：零点定理：若 F 在 [0,a] 连续且 F(0)·F(a)<0，则存在 ξ∈(0,a) 使 F(ξ)=0。
提示：注意零点定理要求区间端点函数值异号，且函数连续。
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