人邮高数 第7章 第7-3-10题
📝 题目
10．设有一质量为 $m$ 的质点受重力作用在铅直平面上沿某一曲线弧从点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 移动到点 $B\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，求其重力做功。
💡 答案解析
[AI解答]
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设质点质量为 $ m $，重力加速度为 $ g $，取铅直向上为 $ y $ 轴正方向，则重力可表示为 $$ \boldsymbol{F} = (0, -mg). $$ 质点沿曲线 $ L $ 从 $ A(x_0, y_0) $ 移动到 $ B(x_1, y_1) $，重力做功为 $$ W = \int_{L} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}. $$ 其中 $ d\boldsymbol{r} = (dx, dy) $，因此 $$ W = \int_{L} (0, -mg) \cdot (dx, dy) = \int_{L} -mg \, dy. $$ 由于被积函数只与 $ y $ 有关，曲线积分可化为对 $ y $ 的定积分： $$ W = \int_{y_0}^{y_1} -mg \, dy = -mg (y_1 - y_0) = mg(y_0 - y_1). $$ 因此，重力做功只与起点和终点的竖直高度差有关，与路径无关，结果为 $$ \boxed{W = mg(y_0 - y_1)}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立坐标系并表达重力矢量
取铅直向上为 y 轴正方向，则重力矢量 F = (0, -mg)，其中 m 为质点质量，g 为重力加速度。
公式：F = (0, -mg)
提示：注意坐标轴方向的选择会影响重力分量的符号。
步骤 2/4
目标：写出重力做功的曲线积分表达式
质点沿曲线 L 从 A(x0,y0) 到 B(x1,y1)，重力做功 W = ∫_L F·dr，其中 dr = (dx, dy)。
公式：W = ∫_L F·dr = ∫_L (0, -mg)·(dx, dy)
提示：曲线积分与路径有关，但这里被积函数仅含 dy。
步骤 3/4
目标：化简被积函数
点乘得 (0, -mg)·(dx, dy) = 0·dx + (-mg)·dy = -mg dy，因此 W = ∫_L -mg dy。
公式：W = ∫_L -mg dy
提示：由于被积函数只依赖于 y，曲线积分可化为对 y 的定积分。
步骤 4/4
目标：化为定积分并计算
将曲线积分转化为从 y0 到 y1 的定积分：W = ∫_{y0}^{y1} -mg dy = -mg (y1 - y0) = mg(y0 - y1)。
公式：W = mg(y0 - y1)
提示：重力做功只与起点和终点的竖直高度差有关，与路径无关。
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