人邮高数 第7章 第7-3-5题

教材习题

📝 题目

5．计算曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} x y \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle L: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们要求曲线积分 $$ \int_{L} x y \, \mathrm{d}s $$ 其中 $L$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 在第一象限的部分（即 $x \geq 0, y \geq 0$）。

**步骤1：参数化曲线** 采用椭圆的参数方程： $$ x = a \cos t,\quad y = b \sin t,\quad t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$ 此时 $x \geq 0, y \geq 0$ 对应 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。

**步骤2：计算弧长微元 $\mathrm{d}s$** $$ \mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t $$ 其中 $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -a \sin t,\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = b \cos t $$ 所以 $$ \mathrm{d}s = \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \, \mathrm{d}t $$

**步骤3：代入被积函数** $$ x y = (a \cos t)(b \sin t) = a b \sin t \cos t $$ 因此积分化为 $$ \int_{L} x y \, \mathrm{d}s = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a b \sin t \cos t \cdot \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \, \mathrm{d}t $$

**步骤4：换元简化** 令 $$ u = a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t $$ 则 $$ \mathrm{d}u = (2a^2 \sin t \cos t - 2b^2 \sin t \cos t) \, \mathrm{d}t = 2 (a^2 - b^2) \sin t \cos t \, \mathrm{d}t $$ 因此 $$ \sin t \cos t \, \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}u}{2(a^2 - b^2)} $$ 当 $t = 0$ 时，$u = b^2$；当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$u = a^2$。

**步骤5：代入积分** $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a b \sin t \cos t \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \, \mathrm{d}t = a b \int_{b^2}^{a^2} \sqrt{u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{2(a^2 - b^2)} $$ $$ = \frac{a b}{2(a^2 - b^2)} \int_{b^2}^{a^2} u^{1/2} \, \mathrm{d}u $$ 计算积分： $$ \int u^{1/2} \, \mathrm{d}u = \frac{2}{3} u^{3/2} $$ 所以 $$ \frac{a b}{2(a^2 - b^2)} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{b^2}^{a^2} = \frac{a b}{3(a^2 - b^2)} \left( a^3 - b^3 \right) $$

**步骤6：化简结果** 注意到 $$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + a b + b^2) $$ 而 $$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $$ 因此 $$ \frac{a b}{3(a^2 - b^2)} (a^3 - b^3) = \frac{a b}{3} \cdot \frac{a^2 + a b + b^2}{a + b} $$

**最终答案** $$ \boxed{\displaystyle \frac{ab(a^2 + ab + b^2)}{3(a + b)}} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：参数化曲线L
采用椭圆的参数方程：x = a cos t, y = b sin t，其中t从0到π/2，对应第一象限。
公式：x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, π/2]
提示：注意参数t的范围要对应x≥0, y≥0。
步骤 2/6
目标：计算弧长微元ds
求导得dx/dt = -a sin t, dy/dt = b cos t，则ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt = sqrt(a^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t) dt。
公式：ds = sqrt(a^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t) dt
提示：弧长微元公式要牢记。
步骤 3/6
目标：代入被积函数并化简积分
被积函数xy = ab sin t cos t，积分化为∫_{0}^{π/2} ab sin t cos t sqrt(a^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t) dt。
公式：∫_{L} xy ds = ∫_{0}^{π/2} ab sin t cos t sqrt(a^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t) dt
提示：注意被积函数与ds的乘积。
步骤 4/6
目标：换元积分
令u = a^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t，则du = 2(a^2 - b^2) sin t cos t dt，即sin t cos t dt = du / [2(a^2 - b^2)]。当t=0时u=b^2，t=π/2时u=a^2。代入得积分 = ab ∫_{b^2}^{a^2} sqrt(u) * du / [2(a^2 - b^2)]。
公式：u = a^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t, du = 2(a^2 - b^2) sin t cos t dt
提示：换元时注意积分限的变化。
步骤 5/6
目标：计算定积分
计算∫_{b^2}^{a^2} u^{1/2} du = (2/3)(a^3 - b^3)，所以原积分 = ab/(2(a^2-b^2)) * (2/3)(a^3-b^3) = ab(a^3-b^3)/[3(a^2-b^2)]。
公式：∫ u^{1/2} du = (2/3) u^{3/2}
提示：注意a^2-b^2≠0，若a=b则需单独处理。
步骤 6/6
目标：化简结果
利用a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)，a^2-b^2=(a-b)(a+b)，约去a-b得最终结果：ab(a^2+ab+b^2)/[3(a+b)]。
公式：a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2), a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
提示：化简时注意因式分解。

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