人邮高数 第7章 第7-5-8题

教材习题

📝 题目

8．求 $\oiint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为由 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围区域 $\Omega$的边界曲面的外侧。

💡 答案解析

[AI解答]

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本题要求计算第二类曲面积分： $$ \oiint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围区域 $\Omega$ 的边界曲面的外侧。

**步骤1：确定区域形状** 曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 是开口向上的圆锥面，顶点在原点； 曲面 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 是开口向下的圆锥面，顶点在 $(0,0,2)$。 两曲面相交时： $$ \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2-\sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 1 $$ 此时 $z=1$，所以交线为平面 $z=1$ 上的圆 $x^{2}+y^{2}=1$。 因此 $\Omega$ 是上下两个圆锥面夹成的封闭区域，形状类似“纺锤体”。

**步骤2：应用高斯公式** 设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其中： $$ P = y^{2},\quad Q = x^{2},\quad R = z^{2} $$ 高斯公式（散度定理）给出： $$ \oiint_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V $$ 计算散度： $$ \frac{\partial P}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2z $$ 因此： $$ \oiint_{\Sigma} \cdots = \iiint_{\Omega} 2z \,\mathrm{d}V $$

**步骤3：用柱坐标计算三重积分** 在柱坐标下：$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta,\; z = z$，体积元 $\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$。 区域 $\Omega$ 在 $z$ 方向的下边界是 $z = r$（下锥面），上边界是 $z = 2 - r$（上锥面），且 $r$ 从 $0$ 到交线半径 $1$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。

于是： $$ \iiint_{\Omega} 2z \,\mathrm{d}V = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} \mathrm{d}r \int_{z=r}^{z=2-r} 2z \cdot r \,\mathrm{d}z $$

**步骤4：逐层积分** 先对 $z$ 积分： $$ \int_{z=r}^{2-r} 2z \,\mathrm{d}z = \left[ z^{2} \right]_{z=r}^{2-r} = (2-r)^{2} - r^{2} = (4 - 4r + r^{2}) - r^{2} = 4 - 4r $$ 乘以 $r$ 得： $$ \int_{z=r}^{2-r} 2z r \,\mathrm{d}z = r(4 - 4r) = 4r - 4r^{2} $$

再对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{1} (4r - 4r^{2}) \,\mathrm{d}r = \left[ 2r^{2} - \frac{4}{3}r^{3} \right]_{0}^{1} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} $$

最后对 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{2\pi} \frac{2}{3} \,\mathrm{d}\theta = \frac{2}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3} $$

**步骤5：得出结果** 因此原积分为： $$ \boxed{\displaystyle \frac{4\pi}{3}} $$

难度评级：★★★☆☆ （需要识别封闭曲面、应用高斯公式、正确确定积分区域并计算三重积分，有一定综合性，但计算量不大。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：确定区域形状
曲面 z=√(x²+y²) 是开口向上的圆锥面，顶点在原点；曲面 z=2-√(x²+y²) 是开口向下的圆锥面，顶点在 (0,0,2)。两曲面相交时，令 √(x²+y²) = 2-√(x²+y²)，解得 √(x²+y²)=1，此时 z=1，交线为平面 z=1 上的圆 x²+y²=1。因此区域 Ω 是上下两个圆锥面夹成的封闭区域，形状类似“纺锤体”。
提示：注意两曲面的开口方向，交线是圆。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式
设向量场 F=(P,Q,R)，其中 P=y², Q=x², R=z²。高斯公式给出：∬_Σ P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ∭_Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dV。计算散度：∂P/∂x=0, ∂Q/∂y=0, ∂R/∂z=2z，所以原积分 = ∭_Ω 2z dV。
公式：高斯公式：∬_Σ F·dS = ∭_Ω div F dV
提示：注意曲面取外侧，高斯公式直接适用。
步骤 3/5
目标：用柱坐标计算三重积分
在柱坐标下：x=r cosθ, y=r sinθ, z=z，体积元 dV = r dr dθ dz。区域 Ω 在 z 方向的下边界是 z=r（下锥面），上边界是 z=2-r（上锥面），r 从 0 到交线半径 1，θ 从 0 到 2π。于是积分化为：∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} dr ∫_{r}^{2-r} 2z·r dz。
公式：柱坐标变换：x=r cosθ, y=r sinθ, z=z, dV=r dr dθ dz
提示：注意 z 的上下限由锥面方程给出。
步骤 4/5
目标：逐层积分
先对 z 积分：∫_{r}^{2-r} 2z dz = [z²]_{r}^{2-r} = (2-r)² - r² = 4-4r。乘以 r 得 4r-4r²。再对 r 积分：∫_{0}^{1} (4r-4r²) dr = [2r² - (4/3)r³]_{0}^{1} = 2 - 4/3 = 2/3。最后对 θ 积分：∫_{0}^{2π} (2/3) dθ = (2/3)·2π = 4π/3。
公式：∫ r dr = r²/2, ∫ r² dr = r³/3
提示：积分顺序为先 z 后 r 最后 θ。
步骤 5/5
目标：得出结果
因此原积分为 4π/3。
提示：最终答案：4π/3。

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