人邮高数 第2章 第2-1-1题
📝 题目
1．填空选择题： （1）设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则 $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{f(-h)-f(0)}{h}=$ $\_\_\_\_$ ； （2）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\lt 0, \\ \ln (1+x), & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(0)=$ $\_\_\_\_$ ，$f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ； （3）设 $\displaystyle y=\frac{1-x}{1+x}$ ，则 $y^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ； （4）设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}-\frac{1}{x \sqrt{x}}$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ； （5）设函数 $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ，$[f(0)]^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ； （6）过曲线 $y=x^{2}$ 上点 $(2,4)$ 处的切线斜率为 $\_\_\_\_$ ； （7）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2, & 0 \leqslant x\lt 1 \\ 3 x-1, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处（ A．可导 B．连续但不可导 C．不连续 D．无定义 （8）函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续是在该点处可导的 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．无关条件
💡 答案解析
[AI解答]
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**习题2-1解答**
（1） 由导数定义，$f'(0)=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}$。 此处极限为 $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}}$，令 $t=-h$，则 $h\to0$ 时 $t\to0$，且 $$ \lim_{h\to0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{-t}=-\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=-f'(0). $$ 故答案为 $-f'(0)$。
（2） $f(0)=\ln(1+0)=0$。 求 $f'(0)$：左导数 $$ f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{x-0}{x}=1. $$ 右导数 $$ f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)-0}{x}=1. $$ 左右导数相等，故 $f'(0)=1$。 答案为 $0$，$1$。
（3） $y=\dfrac{1-x}{1+x}$，求导： $$ y'=\frac{-(1+x)-(1-x)\cdot1}{(1+x)^2}=\frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2}=\frac{-2}{(1+x)^2}. $$ 答案为 $\displaystyle -\frac{2}{(1+x)^2}$。
（4） $f(x)=2x^{-2/3}-x^{-3/2}$，求导： $$ f'(x)=2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-5/3}-\left(-\frac{3}{2}\right)x^{-5/2}=-\frac{4}{3}x^{-5/3}+\frac{3}{2}x^{-5/2}. $$ 代入 $x=1$： $$ f'(1)=-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{-8+9}{6}=\frac{1}{6}. $$ 答案为 $\dfrac{1}{6}$。
（5） $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$，求 $f'(0)$。 用乘积求导或直接定义： $$ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)-0}{x}=\lim_{x\to0}(x-1)(x-2)(x-3)=(-1)(-2)(-3)=-6. $$ $[f(0)]'$ 表示常数 $f(0)=0$ 的导数，为 $0$。 答案为 $-6$，$0$。
（6） $y=x^2$，$y'=2x$，在 $(2,4)$ 处斜率为 $2\cdot2=4$。 答案为 $4$。
（7） 检查 $x=1$ 处连续性： 左极限 $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=1+2=3$，右极限 $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=3\cdot1-1=2$，左右极限不相等，故不连续。 选 C。
（8） 可导必连续，连续不一定可导，故连续是可导的必要条件。 选 B。