人邮高数 第2章 第2-1-9题
📝 题目
9．求曲线 $y=\cos x$ 在点 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线与法线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，计算曲线 $y = \cos x$ 的导数： $$ y' = -\sin x. $$ 在点 $x = \frac{\pi}{3}$ 处，切线斜率为 $$ k_{\text{切}} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. $$ 因此切线方程为 $$ y - \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $$ 整理为一般式： $$ y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{1}{2}. $$
法线斜率为切线斜率的负倒数： $$ k_{\text{法}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}. $$ 法线方程为 $$ y - \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $$ 整理为： $$ y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}\pi}{9} + \frac{1}{2}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求导数
计算曲线 y = cos x 的导数 y' = -sin x。
公式：y' = -sin x
提示：记住基本导数公式 (cos x)' = -sin x。
步骤 2/5
目标：求切线斜率
将 x = π/3 代入导数，得切线斜率 k_切 = -sin(π/3) = -√3/2。
公式：k_切 = -sin(π/3) = -√3/2
提示：sin(π/3) = √3/2。
步骤 3/5
目标：写出切线方程
利用点斜式：y - 1/2 = -√3/2 (x - π/3)。整理得 y = -√3/2 x + √3π/6 + 1/2。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：点斜式方程，注意符号。
步骤 4/5
目标：求法线斜率
法线斜率为切线斜率的负倒数：k_法 = 2/√3 = 2√3/3。
公式：k_法 = -1/k_切
提示：负倒数，注意有理化。
步骤 5/5
目标：写出法线方程
利用点斜式：y - 1/2 = 2√3/3 (x - π/3)。整理得 y = 2√3/3 x - 2√3π/9 + 1/2。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：同样使用点斜式。
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