人邮高数 第2章 第2-3-1题
📝 题目
1．填空选择题： （1）$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导是 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的 $\_\_\_\_$ ，$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续是 $f(x)$在点 $x_{0}$ 处可导的 $\_\_\_\_$ ，$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导是 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微的 $\_\_\_\_$ ； A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．无关条件 （2）设函数 $f(x)$ 可导，则当 $x$ 在 $x=2$ 处有微小增量 $\Delta x$ 时，函数的增量约为 $\_\_\_\_$ ； A．$f^{\prime}(2)$ B． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)$ C．$f(2+\Delta x)$ D．$f^{\prime}(2) \Delta x$ （3）设 $f(x)$ 可微，则 $\mathrm{d}\left[\mathrm{e}^{f(x)}\right]=$ $\_\_\_\_$ ； （4）设函数 $f(x)$ 可导，$y=f\left(-x^{2}\right)$ ，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ； （5）$\displaystyle \frac{\mathrm{d}(\ln x)}{\mathrm{d}(\sqrt{x})}=$ $\_\_\_\_$ ； （6）设 $f(x)$ 为可微的偶函数，且对任意的 $\displaystyle x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right), f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $f^{\prime}\left(-x_{0}\right)$ ＝ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
[AI解答]
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**习题2-3 解答**
**（1）** - 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则必在 $x_0$ 处连续，因此可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。 - 对于一元函数，可导与可微等价，因此可导是可微的充要条件。
答案依次为：**B**（充分条件）、**A**（必要条件）、**C**（充要条件）。
**（2）** 由微分的定义，当 $\Delta x$ 很小时，函数的增量 $\Delta y \approx f'(x) \Delta x$，在 $x=2$ 处即为 $f'(2) \Delta x$。
答案：**D**。
**（3）** 由微分法则： $$ \mathrm{d}\left[\mathrm{e}^{f(x)}\right] = \mathrm{e}^{f(x)} f'(x) \, \mathrm{d}x $$ 也可写作 $\mathrm{e}^{f(x)} \,\mathrm{d}f(x)$。
答案：$\mathrm{e}^{f(x)} f'(x) \,\mathrm{d}x$ 或 $\mathrm{e}^{f(x)} \,\mathrm{d}f(x)$。
**（4）** 设 $y = f(-x^2)$，则 $$ \mathrm{d}y = f'(-x^2) \cdot \mathrm{d}(-x^2) = f'(-x^2) \cdot (-2x) \,\mathrm{d}x = -2x f'(-x^2) \,\mathrm{d}x $$
答案：$-2x f'(-x^2) \,\mathrm{d}x$。
**（5）** 计算： $$ \frac{\mathrm{d}(\ln x)}{\mathrm{d}(\sqrt{x})} = \frac{\frac{1}{x} \mathrm{d}x}{\frac{1}{2\sqrt{x}} \mathrm{d}x} = \frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}} $$
答案：$\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{x}}}$。
**（6）** 因为 $f(x)$ 是可微偶函数，所以 $f(-x) = f(x)$，两边求导得： $$ -f'(-x) = f'(x) \quad\Rightarrow\quad f'(-x) = -f'(x) $$ 代入 $x = x_0$，已知 $f'(x_0) = \frac{1}{2}$，则 $$ f'(-x_0) = -\frac{1}{2} $$
答案：$-\displaystyle{\frac{1}{2}}$。
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**难度评级**：★☆☆☆☆