人邮高数 第2章 第2-3-10题
📝 题目
10．水管壁的正截面是一个圆环，设它的内径为 $R_{0}$ ，壁厚为 $d$ ，利用微分计算这个圆环面积的近似值（ $d$ 相当小）。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求圆环面积的近似值，已知内径为 $R_0$，壁厚为 $d$，且 $d$ 相当小，因此可以利用微分进行近似计算。
圆环面积精确公式为： $$ S = \pi (R_0 + d)^2 - \pi R_0^2 $$ 展开得： $$ S = \pi (R_0^2 + 2R_0 d + d^2) - \pi R_0^2 = 2\pi R_0 d + \pi d^2 $$ 当 $d$ 很小时，$d^2$ 是高阶小量，可以忽略，因此近似面积为： $$ S \approx 2\pi R_0 d $$
也可以从微分角度理解：将面积视为半径 $r$ 的函数 $A(r) = \pi r^2$，则当半径从 $R_0$ 增加到 $R_0 + d$ 时，面积的改变量近似为： $$ \Delta A \approx A'(R_0) \cdot d = 2\pi R_0 \cdot d $$ 结果一致。
因此，圆环面积的近似值为： $$ \boxed{2\pi R_0 d} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立圆环面积的精确表达式
圆环面积等于外圆面积减去内圆面积。外圆半径为 R0+d，内圆半径为 R0，因此精确面积为 S = π(R0+d)^2 - πR0^2。
公式：S = π(R0+d)^2 - πR0^2
提示：注意外圆半径是内径加壁厚。
步骤 2/4
目标：展开并简化精确表达式
展开 (R0+d)^2 = R0^2 + 2R0d + d^2，代入得 S = π(R0^2 + 2R0d + d^2) - πR0^2 = 2πR0d + πd^2。
公式：S = 2πR0d + πd^2
提示：展开时注意完全平方公式。
步骤 3/4
目标：利用微分近似忽略高阶小量
由于 d 很小，d^2 是比 d 更高阶的无穷小，可以忽略，因此近似面积为 S ≈ 2πR0d。
公式：S ≈ 2πR0d
提示：微分近似中，忽略高阶无穷小。
步骤 4/4
目标：从微分角度验证
将面积视为半径 r 的函数 A(r)=πr^2，则当半径从 R0 增加到 R0+d 时，面积增量 ΔA ≈ A'(R0)·d = 2πR0·d，与上述结果一致。
公式：ΔA ≈ A'(R0)·d = 2πR0d
提示：微分近似 ΔA ≈ A'(r)Δr。
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