人邮高数 第2章 第2-3-11题
📝 题目
11．半径为 15 cm 的球，半径伸长 2 mm ，球的体积约增加多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知球的体积公式为 $$ V = \frac{4}{3}\pi R^{3} $$ 其中 $R = 15\,\text{cm}$，半径的微小变化量为 $$ \Delta R = 2\,\text{mm} = 0.2\,\text{cm} $$
利用微分近似，体积的增量可以表示为 $$ \Delta V \approx dV = V'(R) \cdot \Delta R $$
先求导数： $$ V'(R) = \frac{d}{dR}\left( \frac{4}{3}\pi R^{3} \right) = 4\pi R^{2} $$
代入 $R = 15$ 和 $\Delta R = 0.2$： $$ \Delta V \approx 4\pi (15)^{2} \times 0.2 $$ $$ = 4\pi \times 225 \times 0.2 $$ $$ = 4\pi \times 45 $$ $$ = 180\pi $$
取 $\pi \approx 3.1416$，则 $$ \Delta V \approx 180 \times 3.1416 = 565.488 \,\text{cm}^3 $$
因此，球的体积约增加 $180\pi \,\text{cm}^3$，即大约 $565.5 \,\text{cm}^3$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出球的体积公式
球的体积公式为 V = (4/3)πR³，其中 R 为半径。
公式：V = (4/3)πR³
提示：注意单位统一，半径和伸长量都转换为厘米。
步骤 2/5
目标：确定已知量和变化量
已知半径 R = 15 cm，半径伸长 ΔR = 2 mm = 0.2 cm。
提示：将毫米转换为厘米：1 cm = 10 mm，所以 2 mm = 0.2 cm。
步骤 3/5
目标：利用微分近似计算体积增量
体积增量 ΔV ≈ dV = V'(R) * ΔR，其中 V'(R) = 4πR²。
公式：ΔV ≈ 4πR² ΔR
提示：微分近似适用于微小变化。
步骤 4/5
目标：代入数值计算
代入 R = 15，ΔR = 0.2：ΔV ≈ 4π × 15² × 0.2 = 4π × 225 × 0.2 = 4π × 45 = 180π cm³。
公式：ΔV ≈ 180π
提示：先计算 15² = 225，再乘以 0.2 得 45，最后乘以 4π。
步骤 5/5
目标：近似数值结果
取 π ≈ 3.1416，则 ΔV ≈ 180 × 3.1416 = 565.488 cm³，约 565.5 cm³。
提示：π 取 3.1416 或 3.14 均可，根据精度要求。
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