人邮高数 第2章 第2-3-3题

教材习题

📝 题目

3．已知 $y=x^{2}-x$ ，计算在 $x=2$ 处当 $\Delta x$ 分别等于 $0.1,0.01$ 时的 $\Delta y$ 及 $\mathrm{d} y$ 。

💡 答案解析

[AI解答]

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已知函数 $$ y = x^{2} - x $$ 先求微分 $\mathrm{d}y$。 因为 $$ \mathrm{d}y = y'(x) \, \mathrm{d}x = (2x - 1) \, \mathrm{d}x $$ 在 $x=2$ 处，$\mathrm{d}x = \Delta x$，所以 $$ \mathrm{d}y = (2 \cdot 2 - 1) \Delta x = 3 \Delta x $$

再计算 $\Delta y$： $$ \Delta y = f(x+\Delta x) - f(x) $$ 在 $x=2$ 处： $$ f(2) = 2^{2} - 2 = 2 $$ $$ f(2+\Delta x) = (2+\Delta x)^{2} - (2+\Delta x) = (4 + 4\Delta x + (\Delta x)^{2}) - 2 - \Delta x = 2 + 3\Delta x + (\Delta x)^{2} $$ 因此 $$ \Delta y = \bigl[2 + 3\Delta x + (\Delta x)^{2}\bigr] - 2 = 3\Delta x + (\Delta x)^{2} $$

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（1）当 $\Delta x = 0.1$ 时： $$ \Delta y = 3 \times 0.1 + (0.1)^{2} = 0.3 + 0.01 = 0.31 $$ $$ \mathrm{d}y = 3 \times 0.1 = 0.3 $$

（2）当 $\Delta x = 0.01$ 时： $$ \Delta y = 3 \times 0.01 + (0.01)^{2} = 0.03 + 0.0001 = 0.0301 $$ $$ \mathrm{d}y = 3 \times 0.01 = 0.03 $$

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难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求微分 dy 的表达式
对函数 y = x^2 - x 求导，得到 y' = 2x - 1，则 dy = y' dx = (2x - 1) dx。在 x=2 处，dx = Δx，所以 dy = (2*2 - 1) Δx = 3 Δx。
公式：dy = y'(x) dx
提示：微分 dy 是 Δx 的线性函数，系数为导数。
步骤 2/4
目标：计算 Δy 的表达式
Δy = f(x+Δx) - f(x)。先计算 f(2)=2^2-2=2。再计算 f(2+Δx) = (2+Δx)^2 - (2+Δx) = 4 + 4Δx + (Δx)^2 - 2 - Δx = 2 + 3Δx + (Δx)^2。所以 Δy = [2 + 3Δx + (Δx)^2] - 2 = 3Δx + (Δx)^2。
公式：Δy = f(x+Δx) - f(x)
提示：Δy 包含 Δx 的线性项和平方项。
步骤 3/4
目标：当 Δx=0.1 时，计算 Δy 和 dy
代入 Δx=0.1：Δy = 3*0.1 + (0.1)^2 = 0.3 + 0.01 = 0.31；dy = 3*0.1 = 0.3。
步骤 4/4
目标：当 Δx=0.01 时，计算 Δy 和 dy
代入 Δx=0.01：Δy = 3*0.01 + (0.01)^2 = 0.03 + 0.0001 = 0.0301；dy = 3*0.01 = 0.03。

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